Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Έστω

ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί 2n+1

και

να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός 5n+3

είναι σύνθετος.

ΘΕΜΑ 2
Στην περιφέρεια ενός κύκλου τοποθετούμε τους αριθμούς 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Έστω

το μεγαλύτερο άθροισμα τριών διαδοχικών αριθμών.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι $\Omega_{1},$ κέντρου

και $\Omega_{2},$ κέντρου

εφάπτονται εξωτερικά στο B .

Ένας τρίτος κύκλος, ο $\Omega_{3},$ που περιέχει στο εσωτερικό του τους $\Omega_{1}$ και $\Omega_{2},$ εφάπτεται στον $\Omega_{1}$ και στον $\Omega_{2}$ στα σημεία

και

αντίστοιχα. Η ευθεία B C

προεκτεινόμενη τέμνει τον $\Omega_{3}$ στο

.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες Q R

και

τέμνονται πάνω στον $\Omega_{1}$ .

ΘΕΜΑ 4
α) Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c

ικανοποιούν τις σχέσεις $|a-b|\ge 1,|b-c|\ge 1 , |c-a|\ge 1.$
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης a^2+b^2+c^2.

β) Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d

ικανοποιούν τις σχέσεις $|a-b|\ge 1,|b-c|\ge 1 , |c-d|\ge 1, |d-a|\ge 1.$
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης a^2+b^2+c^2+d^2.

Μπορούμε να γενικεύσουμε;

Filippos Athos · #2

socrates έγραψε: Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm ΘΕΜΑ 1
Έστω ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός είναι σύνθετος.

Έστω $2n+1=x^{2}\Rightarrow$ $8n+4=4x^{2},3n+1=y^{2}\Rightarrow 5n+3=(2x-y)(2x+y)$

Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι δεν ισχύει 2x-y=1

Έστω προς άτοπο 2x-1=y

Όμως αντικαθιστωντας το στις αρχικές εξισώσεις έχουμε,

$2n+1=x^{2},3n+1=y^{2}=(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1$

Άρα $6n+3=3x^{2},6n+2=8x^{2}-8x+2\Rightarrow 6n+3-(6n+2)=3x^{2}-(8x^{2}-8x+2)$

Τελικά μένουμε με την εξίσωση $5x^{2}-8x+3=0$
της οποίας οι λύσεις είναι $\frac{8\pm 2}{10}$ , η μόνη ακαίρεα λύση είναι x=1

που βγάζει n=0

που είναι άτοπο από την εκφώνηση

#3

socrates έγραψε: Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm ΘΕΜΑ 2
Στην περιφέρεια ενός κύκλου τοποθετούμε τους αριθμούς Έστω το μεγαλύτερο άθροισμα τριών διαδοχικών αριθμών.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

Αγνοώντας το

οι υπόλοιποι αριθμοί χωρίζονται σε τρεις τριάδες διαδοχικών αριθμών με συνολικό άθροισμα

. Άρα τουλάχιστον μία από αυτές τις τριάδας έχει άθροισμα τουλάχιστον

. Δεν μπορούν όλες να έχουν άθροισμα ακριβώς ίσο με

. Πράγματι σε αυτήν την περίπτωση η τριάδα που περιέχει το 17 θα είναι αναγκαστικά η $\{17,7,4\}$ . Αλλά τότε δεν υπάρχει ξένη από αυτή τριάδα που περιέχει το

με άθροισμα

.

Επομένως τουλάχιστον μια τριάδα έχει άθροισμα

, δηλαδή $k \geqslant 29$ . Το k=29

επιτυγχάνεται με την (κυκλική) διάταξη 17,4,7,13,5,11,3,15,9,1

#4

socrates έγραψε: Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm ΘΕΜΑ 4
α) Οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις σχέσεις $|a-b|\ge 1,|b-c|\ge 1 , |c-a|\ge 1.$
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης
β) Οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις σχέσεις $|a-b|\ge 1,|b-c|\ge 1 , |c-d|\ge 1, |d-a|\ge 1.$
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης
Μπορούμε να γενικεύσουμε;

Χρήσιμη ταυτότητα:
$\displaystyle{3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}$

#5

socrates έγραψε: Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι $\Omega_{1},$ κέντρου και $\Omega_{2},$ κέντρου εφάπτονται εξωτερικά στο Ένας τρίτος κύκλος, ο $\Omega_{3},$ που περιέχει στο εσωτερικό του τους $\Omega_{1}$ και $\Omega_{2},$ εφάπτεται στον $\Omega_{1}$ και στον $\Omega_{2}$ στα σημεία και αντίστοιχα. Η ευθεία προεκτεινόμενη τέμνει τον $\Omega_{3}$ στο .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στον $\Omega_{1}$ .

Επαναφορά!

#6

socrates έγραψε: Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:39 pm ΘΕΜΑ 3
Οι κύκλοι $\Omega_{1},$ κέντρου και $\Omega_{2},$ κέντρου εφάπτονται εξωτερικά στο Ένας τρίτος κύκλος, ο $\Omega_{3},$ που περιέχει στο εσωτερικό του τους $\Omega_{1}$ και $\Omega_{2},$ εφάπτεται στον $\Omega_{1}$ και στον $\Omega_{2}$ στα σημεία και αντίστοιχα. Η ευθεία προεκτεινόμενη τέμνει τον $\Omega_{3}$ στο .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στον $\Omega_{1}$ .

viewtopic.php?f=174&t=73318

Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (49), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση