Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 8η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020-21
Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη


1. Στην Ευτυχούπολη διεξήχθησαν εκλογές για την ανάδειξη προέδρου του τεχνικού επιμελητηρίου. Ο καθένας από τους κατοίκους ψήφισε, έναν από πέντε υποψηφίους, είτε σε εκλογικό κέντρο, είτε με επιστολική ψήφο από το σπίτι. Στην αρχή καταμετρήθηκαν όλες οι ψήφοι στα εκλογικά κέντρα. Προέκυψε ότι ο υποψήφιος κ.Βαλτός έλαβε λιγότερες ψήφους, από ότι καθένας εκ των αντιπάλων του. Μετά από αυτό έγιναν γνωστά τα αποτελέσματα των επιστολικών ψήφων και προέκυψε ότι ο κ.Βαλτός έλαβε πάνω από % όλων των ψήφων! Να αποδείξετε, ότι από το σπίτι ψήφισαν πάνω από κάτοικοι.


2. Έστω διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί αριθμοί. Οι τρεις ευθείες

, ,

στην τομή τους στο καρτεσιανό επίπεδο ορίζουν ένα τρίγωνο. Να αποδείξετε ότι αυτό το τρίγωνο τέμνει τον άξονα των τεταγμένων.


3. Ένας κτηνοτρόφος έχει χοίρους και ένα τσουβάλι ζωοτροφής των 26 κιλών. Να αποδείξετε ότι μπορεί να ταΐσει τους χοίρους έτσι, ώστε οποιοιδήποτε δυο χοίροι μαζί να ζυγίζουν ακέραιο αριθμό κιλών. (Δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί όλη η ζωοτροφή.)


4. Στην πλευρά ενός τριγώνου δίνεται σημείο , στο ευθύγραμμο τμήμα σημείο και στο ευθύγραμμο τμήμα σημείο . Εξάλλου , και . Αν , να βρείτε το μήκος του τμήματος .


5. Στη σελίδα κοινωνικής δικτύωσης «Τι παίζει;» ο κωδικός κάθε χρήστη αποτελείται από τα γράμματα ( γράμματα) και μερικά επιτρεπτά ειδικά σύμβολα. Επιπλέον ο κωδικός πρέπει να περιέχει τουλάχιστον πέντε διαφορετικά γράμματα και τουλάχιστον τρία διαφορετικά ειδικά σύμβολα. Οι κωδικοί ονομάζονται παρόμοιοι, αν περιέχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά γράμματα κοινά και τουλάχιστον δυο διαφορετικά σύμβολα κοινά (όχι απαραίτητα στις ίδιες θέσεις στον κωδικό). Η σελίδα δεν επιτρέπει την εγγραφή λογαριασμού, αν ο κωδικός αυτού του λογαριασμού είναι παρόμοιος με τους κωδικούς τουλάχιστον ήδη εγγεγραμμένων λογαριασμών. Εξάλλου έχουν ήδη εγγραφεί χρήστες. Να αποδείξετε ότι τα επιτρεπτά ειδικά σύμβολα είναι τουλάχιστον .



Πηγή

[george visvikis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020-21
Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη



4. Στην πλευρά ενός τριγώνου δίνεται σημείο , στο ευθύγραμμο τμήμα σημείο και στο ευθύγραμμο τμήμα σημείο . Εξάλλου , και . Αν , να βρείτε το μήκος του τμήματος .


Πηγή

Θέτω και έστω η προβολή του στην Νόμος συνημιτόνων στα τρίγωνα

Πετρούπολη 2021-8.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

απ' όπου προκύπτει ότι δηλαδή το είναι ισοσκελές, άρα

[llenny]

3.
Έστω τα βάρη των χοίρων. Δεν ξέρω τα σύμβολα για το ακέραιο και το κλασματικό μέρος αριθμών σε LATEX, οπότε: Αν το κλασματικο μέρος είναι μεγαλύτερο του για πάνω από 18 γουρούνια έστω ότι αυτά είναι σε πλήθος, απλά ταίζουμε τα γουρούνια αυτά έτσι ώστε να φτάσουν σε ακέραιο αριθμό κιλών. Θα έχουμε χρησιμοποιήσει λιγότερα κιλά ζωοτροφής. Για τα υπόλοιπα που έχουν κλασματικό μέρος κιλών μικρότερο του θα χρησιμοποιήσουμε λιγότερα από κιλά ζωοτροφής έτσι ώστε να τα φτάσουμε τα κιλά τους σε ακέραιο αριθμό. Συνολικά θα έχουμε χρησιμοποιήσει λιγότερα από κιλά αφού και προφανώς φυσικός ( μισά γορούνια). Αν το κλασματικό μέρος των κιλών είναι μικρότερο του για κάτω από 18 γουρούνια τότε ταίζουμε αυτά τα γορούνια μέχρι να φτάσουν σε αριθμό κιλών με κλασματικό μέρος ίσο με οπότε χρησιμοποιούμε λιγότερο από κιλά ζωοτροφής και για τα υπόλοιπα χρησιμοποιούμε λιγότερο από οπότε τελικά χρησιμοποιούμε λιγότερα κιλά ζωοτροφής και πάλι. Και στις δύο περιπτώσεις αν αθροίσουμε τα κιλά 2 τυχαίων γουρουνιών θα έχουμε ακέραιο αριθμό κιλών που είναι και το ζητούμενο.

[llenny]

1.
Αρκεί να δείξουμε ότι ο αριθμός των ψήφων από άτομα σε εκλογικά κέντρα ήταν μικρότερος του
Θα δείξουμε ότι αν οι ψήφοι από άτομα στα εκλογικά κέντρα ήταν τότε ο κ.Βάλτος δε γίνεται να έλαβε αριθμό ψήφων μεγαλύτερο του . Έστω ότι έλαβε στη πρώτη φάση των συνολικών ψήφων της φάσης. Τότε έχουμε να μοιράσουμε ψήφους στους υπόλοιπους υποψήφιους. Από την αρχή του Περιστερώνα όμως θα είχαμε ότι ένας από τους υποψηφίους θα λάμβανε το πολύ ψήφους. Αυτό αντίκειται στην υπόθεση μας ότι ο κ.Βάλτος έλαβε λιγότερους ψήφους από κάθε υποψήφιο στη πρώτη φάση. Ο κ.Βάλτος λαμβάνει το λοιπόν το πολύ στην αρχική φάση και στη δεύτερη. Άρα λαμβάνει συνολικά το πολύ ψήφους. Θέλουμε: . Άρα το ζητούμενο μας ισχύει. Ελπίζω να μη χάνω κάτι.