Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8-9η τάξη, 2015)

[Al.Koutsouridis]

Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικό-μαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η, 2015.


1. Δίνονται βότσαλα διαφορετικού βάρους, επιπλέον διαφορετικά είναι και τα αθροίσματα των βαρών όλων των ζευγών βότσαλων. Επίσης έχουμε ένα ειδικό ζυγό ισορροπίας. Σε αυτό το ζυγό μπορούμε να τοποθετήσουμε μόνο από δυο βότσαλα σε κάθε δίσκο, τότε ο ζυγός δείχνει, σε ποιο δίσκο το βάρος είναι μεγαλύτερο. Να αποδείξετε, ότι με την βοήθεια αυτού του ζυγού μπορεί να βρεθεί είτε το πιο βαρύ βότσαλο, είτε το πιο ελαφρύ.


2. (*) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών του στα σημεία αντίστοιχα. Η ευθεία τέμνει την παράλληλη από το σημείο ως προς την πλευρά , στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .


3. Κάθε θετικός ακέραιος χρωματίστηκε είτε με μπλε, είτε με κόκκινο χρώμα. Προέκυψε ότι για οποιουσδήποτε δυο αριθμούς και του ίδιου χρώματος να αληθεύει, ότι αν ο αριθμός είναι θετικός ακέραιος, τότε θα είναι ίδιου χρώματος με τον . Πόσοι τέτοιοι χρωματισμοί υπάρχουν;


4. Σε κύκλο διαλέξαμε σημεία και για καθένα από αυτά υπολογίσαμε το γινόμενο των αποστάσεων από τα υπόλοιπα. Μπορούν άραγε να προκύψουν οι αριθμοί από το έως το (με κάποια σειρά);


5. Οι ακμές ενός πλήρους γράφου κορυφών χρωματίστηκαν (κανονικά) με χρώματα (επιδέχεται -χρωματισμό). Για οποιαδήποτε δυο χρώματα προέκυψε, ότι όλες οι ακμές αυτών των δυο χρωμάτων αποτελούν την ένωση μερικών κύκλων (κύκλοι μήκους ). Να αποδείξετε ότι το είναι δύναμη του δυο.


6. Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί . Ο Πέτρος και ο Βασίλης παίζουν ένα παιχνίδι. Με την σειρά σβήνουν τους γραμμένους αριθμούς. Ξεκινάει ο Πέτρος. Το παιδί, μετά την κίνηση του οποίου όλοι οι εναπομείναντες αριθμοί (πιθανόν μόνο ένας) έχουν κοινό φυσικό διαιρέτη, μεγαλύτερο της μονάδας, χάνει. Αν στον πίνακα απομείνει μόνο η μονάδα, τότε το παιχνίδι θεωρείτε ότι έληξε ισοπαλία. Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα αν παίξουν και οι δυο σωστά;


7. Στο επίπεδο δίνεται κλειστή τεθλασμένη γραμμή πλευρών. Με αυτή σχηματίζουμε μια νέα τεθλασμένη, οι πλευρές τις οποίας συνδέουν τα μέσα γειτονικών πλευρών της προηγούμενης. Ύστερα η προηγούμενη τεθλασμένη σβήνεται και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Είναι γνωστό ότι για κάθε τεθλασμένη που προκύπτει όλες οι κορυφές είναι διαφορετικές και δεν βρίσκονται όλες στην ίδια ευθεία. Για ποια από τις τεθλασμένες που προκύπτουν οπωσδήποτε θα προκύψει κάποια που θα είναι κυρτό γώνο;


8. (**) Οι θετικοί αριθμοί ικανοποιούν την ισότητα

.

Να αποδείξετε την ανισότητα

.


(*) Το πρόβλημα 2 ήταν το πρόβλημα 1 για τις τάξεις 10 & 11η.
(**) Το πρόβλημα 8 κανονικά ήταν ίδιο με το πρόβλημα 6 των τάξεων 10 & 11η. Εδώ έβαλα ένα διαφορετικό, νομίζω ισοδύναμης δυσκολίας.

Πηγή

[george visvikis]

Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικό-μαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η, 2015.


2. (*) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών του στα σημεία αντίστοιχα. Η ευθεία τέμνει την παράλληλη από το σημείο ως προς την πλευρά , στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .

Υπάρχει και εδώ