Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2021 (τάξη 6)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 6ης τάξης για την 2η φάση, 16 Φεβρουαρίου 2021.


1. Ο Αλέξανδρος σκέφτηκε τρεις μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς. Έγραψε στο πίνακα όλους τους κοινούς διαιρέτες των πρώτων δύο αριθμών, ύστερα έγραψε όλους τους κοινούς διαιρέτες του δεύτερου και του τρίτου και στο τέλος όλους τους κοινούς διαιρέτες του πρώτου και του τρίτου. Συνολικά του προέκυψαν αριθμοί. Τέσσερεις εκ των οποίων είναι οι . Να βρείτε τους υπόλοιπους αριθμούς που γράφτηκαν. (Α.Κουζνέτσοβ)

2. Σε μια αίθουσα κινηματογράφου τα καθίσματα είναι τοποθετημένα σε κάμποσες σειρές (οι σειρές μπορεί να διαφέρουν στον αριθμό των καθισμάτων). Η συνολική χωρητικότητα της αίθουσας είναι θεατών. Σε μια προβολή προσήλθαν θεατές και κατάφεραν να καθίσουν έτσι, ώστε κανένα ζεύγος θεατών να μην βρεθεί σε διπλανά καθίσματα μιας σειράς. Να αποδείξετε, ότι σε κάποια σειρά τα καθίσματα είναι το πολύ . (Α. Σολύνιν)


3. Ένας σκακιστικός ίππος προσπέλασε την σκακιέρα βρισκόμενος σε κάθε κελί από μια φορά. Τα κελιά απαριθμήθηκαν κατά την πορεία του ίππου με τους αριθμούς από το έως το . Μετά από αυτό στο κελί προσήλθε ένα λαγωνικό και άρχισε να ιχνηλατεί τον ίππο σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες. Βρισκόμενο στο κελί με αριθμό , οσμίζεται τα διπλανά κατά πλευρά κελιά και βρίσκει το κελί με το μεγαλύτερο αριθμό. Το λαγωνικό μεταβαίνει σε αυτό κελί, αν ο αριθμός του είναι μεγαλύτερος του , και παραμένει στην θέση του αν είναι μικρότερος. Εν τέλη το λαγωνικό βρήκε τον ίππο, δηλαδή έφτασε στο ο κελί. Να αποδείξετε ότι μετέβηκε από ένα κελί σε ένα άλλο το πολύ φορές. (Ο. Ιβάνοβα)


4. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός . Στον πίνακα γράφηκαν όλα τα θετικά μη ανάγωγα κλάσματα με παρονομαστή , μικρότερα του . Να αποδείξετε, ότι το άθροισμά τους δεν είναι ίσο με .

Καταληκτική αίθουσα

5. Η Όλγα και ο Δημήτρης παίζουν ένα παιχνίδι. Στην αρχή η Όλγα τοποθετεί σε μια σειρά σε κάποια διάταξη κάρτες με τους αριθμούς από έως , με τους αριθμούς στην πάνω πλευρά. Στη συνέχεια κινούνται με την σειρά, ξεκινώντας με τον Δημήτρη. Με μια κίνηση ένας παίχτης συλλέγει μια από τις ακριανές κάρτες. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός διαδοχικών αριθμών που μπορεί να συλλέξει η Όλγα ανεξάρτητα του πως θα δράσει ο Δημήτρης; (Ο.Μπαντάζκοβα, Ν.Βλάσοβα)


6. Σε ένα μεγάλο πίνακα είναι σημειωμένα κελιά (σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη είναι σημειωμένο το πολύ ένα κελί), εξάλλου στην πάνω γραμμή και στην αριστερότερη στήλη δεν υπάρχουν σημειωμένα κελιά. Ο Σέργιος θέλει να χρωματίσει αυτά τα κελιά με κόκκινο ή μπλε χρώμα έτσι, ώστε δεξιότερα της κάθε στήλης του πίνακα το πλήθος των κόκκινων κελιών να διαφέρει από το πλήθος των μπλε το πολύ κατά και κάτω από οποιαδήποτε γραμμή του πίνακα το πλήθος των κόκκινων κελιών να διαφέρει από το πλήθος των μπλε επίσης το πολύ κατά . Αληθεύει άραγε, ότι για οποιαδήποτε διάταξη των κελιών ο Σέργιος θα μπορέσει να το επιτύχει αυτό;


Πηγή

[thepigod762]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα 6ης τάξης για την 2η φάση, 16 Φεβρουαρίου 2021.


1. Ο Αλέξανδρος σκέφτηκε τρεις μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς. Έγραψε στο πίνακα όλους τους κοινούς διαιρέτες των πρώτων δύο αριθμών, ύστερα έγραψε όλους τους κοινούς διαιρέτες του δεύτερου και του τρίτου και στο τέλος όλους τους κοινούς διαιρέτες του πρώτου και του τρίτου. Συνολικά του προέκυψαν αριθμοί. Τέσσερεις εκ των οποίων είναι οι . Να βρείτε τους υπόλοιπους αριθμούς που γράφτηκαν. (Α.Κουζνέτσοβ)

2. Σε μια αίθουσα κινηματογράφου τα καθίσματα είναι τοποθετημένα σε κάμποσες σειρές (οι σειρές μπορεί να διαφέρουν στον αριθμό των καθισμάτων). Η συνολική χωρητικότητα της αίθουσας είναι θεατών. Σε μια προβολή προσήλθαν θεατές και κατάφεραν να καθίσουν έτσι, ώστε κανένα ζεύγος θεατών να μην βρεθεί σε διπλανά καθίσματα μιας σειράς. Να αποδείξετε, ότι σε κάποια σειρά τα καθίσματα είναι το πολύ . (Α. Σολύνιν)


3. Ένας σκακιστικός ίππος προσπέλασε την σκακιέρα βρισκόμενος σε κάθε κελί από μια φορά. Τα κελιά απαριθμήθηκαν κατά την πορεία του ίππου με τους αριθμούς από το έως το . Μετά από αυτό στο κελί προσήλθε ένα λαγωνικό και άρχισε να ιχνηλατεί τον ίππο σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες. Βρισκόμενο στο κελί με αριθμό , οσμίζεται τα διπλανά κατά πλευρά κελιά και βρίσκει το κελί με το μεγαλύτερο αριθμό. Το λαγωνικό μεταβαίνει σε αυτό κελί, αν ο αριθμός του είναι μεγαλύτερος του , και παραμένει στην θέση του αν είναι μικρότερος. Εν τέλη το λαγωνικό βρήκε τον ίππο, δηλαδή έφτασε στο ο κελί. Να αποδείξετε ότι μετέβηκε από ένα κελί σε ένα άλλο το πολύ φορές. (Ο. Ιβάνοβα)


4. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός . Στον πίνακα γράφηκαν όλα τα θετικά μη ανάγωγα κλάσματα με παρονομαστή , μικρότερα του . Να αποδείξετε, ότι το άθροισμά τους δεν είναι ίσο με .

Καταληκτική αίθουσα

5. Η Όλγα και ο Δημήτρης παίζουν ένα παιχνίδι. Στην αρχή η Όλγα τοποθετεί σε μια σειρά σε κάποια διάταξη κάρτες με τους αριθμούς από έως , με τους αριθμούς στην πάνω πλευρά. Στη συνέχεια κινούνται με την σειρά, ξεκινώντας με τον Δημήτρη. Με μια κίνηση ένας παίχτης συλλέγει μια από τις ακριανές κάρτες. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός διαδοχικών αριθμών που μπορεί να συλλέξει η Όλγα ανεξάρτητα του πως θα δράσει ο Δημήτρης; (Ο.Μπαντάζκοβα, Ν.Βλάσοβα)


6. Σε ένα μεγάλο πίνακα είναι σημειωμένα κελιά (σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη είναι σημειωμένο το πολύ ένα κελί), εξάλλου στην πάνω γραμμή και στην αριστερότερη στήλη δεν υπάρχουν σημειωμένα κελιά. Ο Σέργιος θέλει να χρωματίσει αυτά τα κελιά με κόκκινο ή μπλε χρώμα έτσι, ώστε δεξιότερα της κάθε στήλης του πίνακα το πλήθος των κόκκινων κελιών να διαφέρει από το πλήθος των μπλε το πολύ κατά και κάτω από οποιαδήποτε γραμμή του πίνακα το πλήθος των κόκκινων κελιών να διαφέρει από το πλήθος των μπλε επίσης το πολύ κατά . Αληθεύει άραγε, ότι για οποιαδήποτε διάταξη των κελιών ο Σέργιος θα μπορέσει να το επιτύχει αυτό;


Πηγή

1.
Επειδή είναι φυσικοί και οι τρεις αριθμοί θα έχουν κοινό διαιρέτη τον .

Θα αποδείξουμε αρχικά ότι στον πίνακα ένας διαιρέτης είναι γραμμένος ακριβώς ή φορές:

Είναι προφανές ότι περισσότερες από τρεις είναι αδύνατο, καθώς τότε θα υπάρχει ένα ζευγάρι αριθμών με τουλάχιστον 2 κοινούς ίδιους διαιρέτες, άτοπο (αρχή Dirichlet).

Έστω τώρα ότι ένας διαιρέτης είναι γραμμένος ακριβώς 2 φορές. Τότε, δύο ζευγάρια των αριθμών θα έχουν έναν κοινό διαιρέτη, άρα τρεις από τους αριθμούς θα έχουν κοινό διαιρέτη, οπότε έπεται ότι και το τρίτο ζευγάρι θα έχει κοινό αυτό τον διαιρέτη. Άρα, ο διαιρέτης θα γραφεί τελικά τρεις φορές, άτοπο από την υπόθεση.

Άρα, οι διαιρέτες γραμμένοι είναι τώρα οι .

Οι αριθμοί έχουν διαιρέτη τον , άρα έχουν και τον . Επίσης, έχουν διαιρέτη τον , αρα θα έχουν και τον διαιρέτη του .

Οπότε οι διαιρέτες γραμμένοι είναι τώρα οι , που είναι 18 άρα τελειώσαμε.