Ωραίο !!

Henri van Aubel · #1

Έστω $\angle B> 45^\circ,\angle C< 45^\circ$ οξείες με συνθήκη $2\sin B\sin C=1.$ Δείξτε ότι $2\sin C\sin \frac{3B-C}{2}\cos \frac{B}{2}=2\cos C\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B}{2}.$

∫ot.T. · #2

Το cos(B/2) είναι διάφορο του μηδενός και απαλείφεται.
Η εξίσωση που προκύπτει μετασχηματίζεται σε άθροισμα και διαφορά συνημιτώνων.

$2sinC\cdot sin(\frac{3B-C}{2})=cos(3\cdot \frac{C-B}{2})-cos(\frac{C+3B}{2})$

$2cosC\cdot cos(\frac{B+C}{2})=cos(\frac{C-B}{2})+cos(\frac{B+3C}{2})$

Όμως $cos(\frac{B+3C}{2})+cos(\frac{C+3B}{2})=2cos(B+C)\cdot cos(\frac{C-B}{2})$

Οπότε αρκεί να δεχθεί ότι

$cos(3\cdot \frac{C-B}{2})=cos(\frac{C-B}{2})+2cos(B+C)\cdot cos(\frac{C-B}{2})$

$4cos^{2}(\frac{C-B}{2})-3=1+2cos(B+C)$

$2(2cos^{2}(\frac{C-B}{2})-1)=2(cos(B+C)+1)$

Αρκεί να ισχύει ότι cos(C-B)=cos(B+ C)+1

(1)
Όμως $cos(B-C)-cos(B+C)=2sinB\cdot sinC=1$
Όποτε η (1) ισχύει.

Henri van Aubel · #3

Πολύ ωραία! Η λύση που είχα κατά νου χθες δεν απαλείφει το $\displaystyle \cos \frac{B}{2}.$ Ίσα ίσα για βοήθεια το έβαλα.

$\displaystyle 2\sin C\sin \frac{3B-C}{2}\cos \frac{B}{2}=\sin C\left [ \sin \frac{3B-C-B}{2}+\sin \frac{3B-C+B}{2} \right ]=$

$\displaystyle =\sin C\sin \left ( 2B-\frac{C}{2} \right )+\sin C\sin \left ( B-\frac{C}{2} \right )\left ( 1 \right )$

$\displaystyle 2\cos C\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B}{2}=\cos C\left [\cos \frac{C}{2} +\cos \left ( B+\frac{C}{2} \right ) \right ]\left ( 2 \right )$

Πολλαπλασιάζω την καθεμία με $\displaystyle 2\cos \frac{C}{2}$ και είναι:

$\displaystyle A=\sin C\left [ 2\cos \frac{C}{2}\sin \left ( 2B-\frac{C}{2} \right ) +2\cos \frac{C}{2}\sin \left ( B-\frac{C}{2} \right )\right ]=$

$\displaystyle =\sin C\left [ \sin 2B+\sin \left ( 2B-C \right ) +\sin B+\sin \left ( B-C \right )\right ]\left ( I \right )$

$\displaystyle B=\cos C\left [ 2\cos ^{2} \frac{C}{2}+2\cos \frac{C}{2}\cos \left ( B+\frac{C}{2} \right )\right ]=\cos C\left [ 1+\cos C+\cos B+\cos \left ( B+C \right ) \right ]\left ( II \right )$

Επειδή $2\sin B\sin C=\cos \left ( B-C \right )-\cos \left ( B+C \right )=1$ προκύπτει ότι $B=\cos C\left [ \cos \left ( B-C \right )+\cos B+\cos C \right ]\left ( I I\right )$ και άρα:

$B-A=\cos \left ( B-C+C \right )+\cos \left ( B+C \right )+\cos ^{2}C-\sin C\sin 2B-\sin C\sin \left ( 2B-C \right )=$

$=\cos B+\cos \left ( B+C \right )+\cos ^{2}C-2\sin B\sin C\cos B-\sin C\sin \left ( 2B-C \right )^{2\sin B\sin C=1}=$

$=\cos B+\cos \left ( B+C \right )+\cos ^{2}C-\cos B-\sin C\sin \left ( 2B-C \right )=$

$=\cos \left ( B+C \right )+1-\sin ^{2}C-\sin C\sin \left ( 2B-C \right )=$

$=\cos \left ( B+C \right )+1-\sin ^{2}C-2\sin B\sin C\cos B\cos C+\cos 2B\sin ^{2}C^{2\sin B\sin C=1}=$

$=\cos \left ( B+C \right )+1-2\sin ^{2}B\sin ^{2}C- \cos B\cos C=$

$\displaystyle =1-2\left ( \sin B\sin C \right )^{2}-\sin B\sin C=1-2\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{1}{2}=0$

που τελειώνει την απόδειξη.

#4

∫ot.T. έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 7:54 am Το cos(B/2) είναι διάφορο του μηδενός και απαλείφεται.
Η εξίσωση που προκύπτει μετασχηματίζεται σε άθροισμα και διαφορά συνημιτώνων.

$2sinC\cdot sin(\frac{3B+C}{2})=cos(3\cdot \frac{C-B}{2})-cos(\frac{C+3B}{2})$

$2cosC\cdot cos(\frac{B+C}{2})=cos(\frac{C-B}{2})+cos(\frac{B+3C}{2})$

Όμως $cos(\frac{B+3C}{2})+cos(\frac{C+3B}{2})=2cos(B+C)\cdot cos(\frac{C-B}{2})$

Οπότε αρκεί να δεχθεί ότι

$cos(3\cdot \frac{C-B}{2})=cos(\frac{C-B}{2})+2cos(B+C)\cdot cos(\frac{C-B}{2})$

$4cos^{2}(\frac{C-B}{2})-3=1+2cos(B+C)$

$2(2cos^{2}(\frac{C-B}{2})-1)=2(cos(B+C)+1)$

Αρκεί να ισχύει ότι (1)
Όμως $cos(B-C)-cos(B+C)=2sinB\cdot sinC=1$
Όποτε η (1) ισχύει.

Καλημέρα

Πρώτα -πρώτα εύγε για την άριστη χρήση των τριγωνομετρικών τύπων.

Για μαθητή Α λυκείου και δεδομένου ότι δεν διδάσκονται καν οι τύποι αυτοί

( παρά το ότι τους έχει το σχολικό βιβλίο ) είναι εκπληκτικό .

Απλώς διόρθωσε ένα τυπογραφικό λάθος στην πρώτη γραμμή .

Αντί του $\sin \dfrac{{3B + C}}{2}$ θέσε το ορθό : $\sin \dfrac{{3B - C}}{2}$

Henri van Aubel · #5

Doloros έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 9:33 am
∫ot.T. έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 7:54 am Το cos(B/2) είναι διάφορο του μηδενός και απαλείφεται.
Η εξίσωση που προκύπτει μετασχηματίζεται σε άθροισμα και διαφορά συνημιτώνων.

$2sinC\cdot sin(\frac{3B+C}{2})=cos(3\cdot \frac{C-B}{2})-cos(\frac{C+3B}{2})$

$2cosC\cdot cos(\frac{B+C}{2})=cos(\frac{C-B}{2})+cos(\frac{B+3C}{2})$

Όμως $cos(\frac{B+3C}{2})+cos(\frac{C+3B}{2})=2cos(B+C)\cdot cos(\frac{C-B}{2})$

Οπότε αρκεί να δεχθεί ότι

$cos(3\cdot \frac{C-B}{2})=cos(\frac{C-B}{2})+2cos(B+C)\cdot cos(\frac{C-B}{2})$

$4cos^{2}(\frac{C-B}{2})-3=1+2cos(B+C)$

$2(2cos^{2}(\frac{C-B}{2})-1)=2(cos(B+C)+1)$

Αρκεί να ισχύει ότι (1)
Όμως $cos(B-C)-cos(B+C)=2sinB\cdot sinC=1$
Όποτε η (1) ισχύει.
Καλημέρα

Πρώτα -πρώτα εύγε για την άριστη χρήση των τριγωνομετρικών τύπων.

Για μαθητή Α λυκείου και δεδομένου ότι δεν διδάσκονται καν οι τύποι αυτοί

( παρά το ότι τους έχει το σχολικό βιβλίο ) είναι εκπληκτικό .

Απλώς διόρθωσε ένα τυπογραφικό λάθος στην πρώτη γραμμή .

Αντί του $\sin \dfrac{{3B + C}}{2}$ θέσε το ορθό : $\sin \dfrac{{3B - C}}{2}$

Πράγματι κύριε Νίκο . Ο μαθητής Σωτήρης είναι ΦΟΒΕΡΟΣ !! Παρατήρησα ότι ξέρει να υπολογίζει και σειρές , είναι μόλις 15 ετών !

Το επίπεδο του είναι 1000 φορές ανώτερο από τους συμμαθητές του προφανώς . Προσωπικά επειδή κάνω τριγωνομετρία (άλγεβρα β λυκείου ) , έχω να πω ότι τους πιάνει ναυτία και τρόμος με απλές ασκήσεις ! Αν έβλεπαν αυτήν εδω, θα λιποθυμούσαν όλοι !

#6

Henri van Aubel έγραψε: Δευ Ιουν 26, 2023 8:59 pm Έστω $\angle B> 45^\circ,\angle C< 45^\circ$ οξείες με συνθήκη $2\sin B\sin C=1.$ Δείξτε ότι $2\sin C\sin \frac{3B-C}{2}\cos \frac{B}{2}=2\cos C\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B}{2}.$

Η άσκηση εμπνεύστηκε (;) απο το γεωμετρικό θέμα εδώ

Έχει και γεωμετρική ερμηνεία οπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

: ωραίο_1.png (40.99 KiB) Προβλήθηκε 1223 φορές

Άραγε ποιάς εθνικότητας είναι το γεωμετρικό θέμα ;

#7

Doloros έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 10:55 am
Henri van Aubel έγραψε: Δευ Ιουν 26, 2023 8:59 pm Έστω $\angle B> 45^\circ,\angle C< 45^\circ$ οξείες με συνθήκη $2\sin B\sin C=1.$ Δείξτε ότι $2\sin C\sin \frac{3B-C}{2}\cos \frac{B}{2}=2\cos C\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B}{2}.$
Η άσκηση εμπνεύστηκε (;) απο το γεωμετρικό θέμα εδώ

Έχει και γεωμετρική ερμηνεία οπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

ωραίο_1.png

Άραγε ποιάς εθνικότητας είναι το γεωμετρικό θέμα ;

Καλημέρα Κώστα, Σωτήρη και Νίκο!

Είναι από Βουλγαρία.

Henri van Aubel · #8

Doloros έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 10:55 am
Henri van Aubel έγραψε: Δευ Ιουν 26, 2023 8:59 pm Έστω $\angle B> 45^\circ,\angle C< 45^\circ$ οξείες με συνθήκη $2\sin B\sin C=1.$ Δείξτε ότι $2\sin C\sin \frac{3B-C}{2}\cos \frac{B}{2}=2\cos C\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B}{2}.$
Η άσκηση εμπνεύστηκε (;) απο το γεωμετρικό θέμα εδώ

Έχει και γεωμετρική ερμηνεία οπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

ωραίο_1.png

Άραγε ποιάς εθνικότητας είναι το γεωμετρικό θέμα ;

Δεν εμπνεύστηκε, αλλά χρησιμοποιήθηκε ως λήμμα στην λύση μου. Δεν ήθελα να γράφω παρά πολλά και να γεμίσει η ανάρτηση μου πράξεις, αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο επέλεξα να απομονώσω το συγκεκριμένο λήμμα δημιουργώντας ένα νέο θέμα !

Ωραίο !!

Ωραίο !!

Re: Ωραίο !!

Re: Ωραίο !!

Re: Ωραίο !!

Re: Ωραίο !!

Re: Ωραίο !!

Re: Ωραίο !!

Re: Ωραίο !!

Μέλη σε σύνδεση