Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (9η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
16 Μαρτίου 2025 9η τάξη

Πρόβλημα 1. Μπορούμε άραγε να τοποθετήσουμε εννέα διαφορετικούς ακέραιους αριθμούς στα κελιά ενός πίνακα έτσι, ώστε το γινόμενο των αριθμών κάθε γραμμής του πίνακα να ισούται με και το γινόμενο των αριθμών σε κάθε στήλη επίσης να ισούται με ;

Πρόβλημα 2. Μπορούμε άραγε σε άπειρο τετραγωνισμένο επίπεδο να τοποθετήσουμε άπειρο αριθμό σκακιστικών ίππων (το πολύ ένα ίππο σε κάθε κελί) έτσι, ώστε κάθε ίππος να απειλεί ακριβώς έξι άλλους; Θυμίζουμε, ότι ο σκακιστικός ίππος απειλεί κελιά όπως απεικονίζεται στο σχήμα.

Screenshot 2025-03-16 at 23.23.47.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 2906 φορές

Πρόβλημα 3. Στο τρίγωνο με ορθή την γωνία φέρουμε το ύψος . Ο κύκλος, που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει δεύτερη φορά τα τμήματα και στα σημεία και αντίστοιχα. Τα τμήματα και τέμνονται στο σημείο . Τι είναι μεγαλύτερο: το εμβαδόν του τριγώνου ή το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων και ;

Screenshot 2025-03-16 at 23.23.58.png (25.42 KiB) Προβλήθηκε 2906 φορές

Πρόβλημα 4. Κάθε κελί ενός τετραγώνου είναι χρωματισμένο είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Προέκυψε ότι για κάθε λευκό κελί ακριβώς δυο γειτονικά του κατά πλευρά κελιά είναι χρωματισμένα με λευκό χρώμα και για κάθε μαύρο κελί ακριβώς δυο γειτονικά κατά πλευρά κελιά είναι χρωματισμένα με μαύρο. Να βρείτε τον μέγιστο δυνατό αριθμό μαύρων κελιών.

Πρόβλημα 5. Μια νοικοκυρά έχει ένα κομμάτι κρέας με το οποίο θέλει να ταΐσει τρεις γάτες. Μια φορά ανά μερικά δευτερόλεπτα η νοικοκυρά αποκόβει ένα κομμάτι κρέας και το ταΐζει σε μια από τις γάτες της δικιάς της επιλογής, εξάλλου κάθε κομμάτι πρέπει να είναι το ίδιο και το αυτό μέρος (ποσοστό) του κομματιού από το οποίο αποκόβεται. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα η νοικοκυρά τοποθετεί το κρέας που επέμεινε στο ψυγείο. Μπορεί άραγε να ταΐσει τις γάτες ίση ποσότητα κρέατος;

Πρόβλημα 6. Τα ύψη ενός οξυγώνιου τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει το τμήμα στο σημείο , η διχοτόμος της γωνίας τέμνει το τμήμα στο σημείο . Συμβολίζουμε το μέτρο της γωνίας με . Ανάλογα ορίζονται και τα και . Να βρείτε την τιμή του αθροίσματος .

Screenshot 2025-03-16 at 23.24.11.png (45.86 KiB) Προβλήθηκε 2906 φορές

[αρψ2400]

Πρόβλημα 5. Έστω

το ποσοστό που απομένει, με και μεταξύ τους πρώτους. (Η κυρία δίνει σε κάθε γάτα το της ποσότητας που απομένει.) Το πρέπει να είναι ρητός, αφού η κυρία δεν μπορεί να κόψει άρρητο ποσοστό κρέατος. Τα ποσοστά που απομένουν είναι

Αν υπήρχε κάποιο ώστε να μπορεί να ταίσει κάθε γάτα το του , θα ίσχυε
και το ν-1 δεν ανήκει στο Ι
(αφού κάποια γάτα δεν θα έφαγε το τελευταίο γεύμα). Πολλαπλασιάζοντας με αριστερά και δεξιά, προκύπτει ότι το διαιρεί το , κάτι το οποίο είναι άτοπο. Άρα, δεν γίνεται να φάνε το ίδιο.

[mick7]

Πρόβλημα 1)

[αρψ2400]

Πρόβλημα 2.Οι ίπποι στα μαύρα.

[Al.Koutsouridis]

Πρόβλημα 5. Έστω

το ποσοστό που απομένει, με και μεταξύ τους πρώτους. (Η κυρία δίνει σε κάθε γάτα το της ποσότητας που απομένει.) Το πρέπει να είναι ρητός, αφού η κυρία δεν μπορεί να κόψει άρρητο ποσοστό κρέατος.

Το μέρος, ποσοστό του κρέατος που αποκόβεται δεν είναι απαραίτητο να είναι ρητός (Ίσως να μην ήταν καθαρό στην εκφώνηση).

[αρψ2400]

Πρόβλημα 5. Έστω

το ποσοστό που απομένει, με και μεταξύ τους πρώτους. (Η κυρία δίνει σε κάθε γάτα το της ποσότητας που απομένει.) Το πρέπει να είναι ρητός, αφού η κυρία δεν μπορεί να κόψει άρρητο ποσοστό κρέατος.

Το μέρος, ποσοστό του κρέατος που αποκόβεται δεν είναι απαραίτητο να είναι ρητός (Ίσως να μην ήταν καθαρό στην εκφώνηση).

Ξεκινώντας με ένα μεγάλο α ,κοντά στο 1 ,δεδομένου ότι τα ταίσματα είναι 1-α ,α(1-α) ,α^2(1-α) ,.....,μπορεί να ξεκινήσει με το πρώτο τάισμα .Και να δώσει στο δεύτερο γατί τις επόμενες μερίδες μέχρι να ξεπεραστεί η ποσότητα που έχει φάει το πρώτο γατί. Στη συνέχεια να δώσει τις επόμενες μερίδες στο τρίτο γατί ώστε να ξεπεραστεί η ποσότητα που έχει φάει το δεύτερο γατί , στη συνέχεια τις επόμενες στο πρώτο ,μέχρι να έχει φάει περισσότερα από τα άλλα δύο κτλ. Γενικά ταίζει το λιγότερο ταισμένο γατί μέχρι να γίνει το πιο ταισμένο. Οι μερίδες τείνουν στο 0 και άρα οι διαφορές στην τροφή που θα έχουν προσλάβει τα γατιά θα τείνουν στο 0.Δεν ξέρω αν η κυρία μπορεί να αποκόψει με άπειρη ακρίβεια ώστε και οι διαφορές να πρέπει να είναι ακριβώς 0.Γνωρίζετε την επίσημη λύση; Τα προβλήματα που δεν διατυπώνονται σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα ,έχουν τέτοια θέματα.

[Al.Koutsouridis]

Δεν ξέρω αν η κυρία μπορεί να αποκόψει με άπειρη ακρίβεια ώστε και οι διαφορές να πρέπει να είναι ακριβώς 0.Γνωρίζετε την επίσημη λύση; Τα προβλήματα που δεν διατυπώνονται σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα ,έχουν τέτοια θέματα.

Είναι μία συνήθης πρακτική σε προβλήματα πολλές φορές που έχουν "φυσική" περιγραφή να τα μοντελοποιούμε και να τα αντιμετωπίζουμε ως ιδεατά. Προφανώς στην πράξη δεν μπορεί να κόψει με άπειρη ακρίβεια αλλά στο πρόβλημα θεωρούμε ότι μπορεί να κόψει, για παράδειγμα, το του αρχικού κρέατος. Στο κάτω κάτω, ακόμα και στην αρχική σου προσπάθεια, που θεώρησες ότι το μέρος που αποκόβουμε είναι ανάγωγο κλάσμα, δεν μας εγγυάται κανείς ότι μπορεί (στην πραγματικότητα) να κόψει με τέτοια ακρίβεια. Δεν έχει διαφορά για την ακρίβεια του κοψίματος, αν ο αριθμός είναι ρητός ή άρρητος. Ας αφήσουμε προς το παρόν, μήπως και θέλει να το δοκιμάσει κανείς άλλος και θα μεταφέρω την λύση αργότερα. Πάντως σε ευχαριστώ για την ενασχόληση και τις λύσεις.

[george visvikis]

LXXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
16 Μαρτίου 2025 9η τάξη

Πρόβλημα 3. Στο τρίγωνο με ορθή την γωνία φέρουμε το ύψος . Ο κύκλος, που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει δεύτερη φορά τα τμήματα και στα σημεία και αντίστοιχα. Τα τμήματα και τέμνονται στο σημείο . Τι είναι μεγαλύτερο: το εμβαδόν του τριγώνου ή το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων και ;

Έστω οι προβολές των στην αντίστοιχα και οι προβολές τους στην Έστω ακόμα

το μέσο του και το κέντρο του κύκλου. Επειδή η είναι διάμεσος του τραπεζίου θα είναι

Μ.Ο.Μ 2025(9).png (27.49 KiB) Προβλήθηκε 2396 φορές

Θα δείξω ότι Αρκεί να δείξω ότι Πράγματι,

[αρψ2400]

Πρόβλημα 5 .Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο ,όπως αναλύθηκε στη ρητή περίπτωση (βλ. παραπάνω) με τον διαμερισμό κάποιων πρώτων όρων ,μιας γεωμετρικής προόδου σε τρία μέρη με το ίδιο άθροισμα.Μια ιδέα είναι ο λόγος α να έιναι ο φ λύση της χ^2+χ=1 αλλά φ=0.618...< 2/3 .Έτσι αναζητώντας μία απλη πολυωνυμική εξίσωση με ρίζα πάνω από 2/3 , μετά από αποτυχημένες δοκιμές και με τη βοήθεια του υπολογιστή (και του gptchat για την γρήγορη πτώση βαθμών των όρων) ,μία κατάλληλη είσωση είναι η χ^3+χ=1 που δίνει για τους 7 πρώτους όρους .
και τα αντίστοιχα group είναι {1}, {α,1−α},{α^2,α−α^2 ,α^2+α−1,1−2α+α^2,1−2α^2}.

[Al.Koutsouridis]

Χρόνια πολλά για τη Εθνική εορτή! Υγεία και δημιουργικότητα στα μέλη του !

.Έτσι αναζητώντας μία απλη πολυωνυμική εξίσωση με ρίζα πάνω από 2/3 , μετά από αποτυχημένες δοκιμές και με τη βοήθεια του υπολογιστή (και του gptchat για την γρήγορη πτώση βαθμών των όρων) ,μία κατάλληλη είσωση είναι η χ^3+χ=1 που δίνει για τους 7 πρώτους όρους .

Πράγματι, έστω ότι κάθε κομμάτι που αποκόβεται αποτελεί το του κομματιού, από το οποίο αποκόβεται. Τότε το οστό αποκομμένο κομμάτι αποτελεί το του αρχικού κομματιού. Απαλείφοντας το το πρόβλημα μπορεί να έπανα διατυπωθεί ως εξής: για κάποιο και κάποιο φυσικό αριθμό να διαμεριστούν οι αριθμοί σε τρεις ομάδες με ίσα αθροίσματα.

Τώρα αν χρησιμοποιήσουμε ως την ρίζα της εξίσωσης που έδωσε το chatgpt (στα πλαίσια του διαγωνισμού και της πληρότητας της λύσης, πρέπει να αποδειχθεί ότι υπάρχει η ρίζα και ανήκει στο διάστημα ), όντως έχουμε



για κάθε μη μηδενικό φυσικό



Έτσι για και για το παραπάνω οι αριθμοί μπορούν να διμερισθούν σε τρεις ομάδες με ίσα αθροίσματα

.

Να σημειώσουμε ότι υπάρχουν και άλλες διαμερίσεις με το ίδιο καθώς και άλλα που οδηγούν στην ζητούμενη μοιρασιά.

[αρψ2400]

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\textbf{Πρόβλημα 4}

Έστω τα άσπρα στο εσωτερικό του τετραγώνου, τα άσπρα στις πλευρές (εκτός των γωνιών) και τα αντίστοιχα μαύρα. Τότε κάθε μαύρο της περιοχής συνδέεται με 2 άσπρα των περιοχών και κάθε μαύρο της περιοχής με 1 άσπρο των περιοχών .

(Δεν μπορεί να συνδέεται με γωνία αφού οι γωνίες είναι ομόχρωμες με τα γειτονικά τετράγωνα.) Το ίδιο ισχύει και για τα άσπρα τετράγωνα και άρα:


Επίσης:



Αντικαθιστώντας:



Στην εξίσωση:

έχουμε:



Άρα:



Η μέγιστη τιμή για το είναι όλα μαύρα στις πλευρές, δηλαδή , και η αντίστοιχη για το είναι:


Το σύνολο των μαύρων είναι με τα μαύρα στις γωνίες:


Με , έχουμε:


Η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται με ομόκεντρα τετράγωνα μαύρα και άσπρα εναλλάξ, ξεκινώντας από έξω με τα μαύρα. Έχουμε έτσι το άθροισμα:


\end{document}

[αρψ2400]

Τώρα αν χρησιμοποιήσουμε ως την ρίζα της εξίσωσης που έδωσε το chatgpt (στα πλαίσια του διαγωνισμού και της πληρότητας της λύσης, πρέπει να αποδειχθεί ότι υπάρχει η ρίζα και ανήκει στο διάστημα ),

Το chatgpt δεν μπορεί να δώσει την ιδέα μιας λύσης ειδικά αν δεν έχει ''δει'' κάτι παρόμοιο .Είναι ένας καλός βοηθός που θα γίνεται καλύτερος.Η χρήση του εκτός από ευκολία και ταχύτητα , και ενημέρωση για πράγματα σχετικά με το πρόβλημα , βοηθάει και στην απομυθοποίηση αυτού του εργαλείου.Για λεπτομέρειες δείτε τη συζήτηση A.I. KILLERS (MATHADE RUNNER).

[helen21]

Το chatgpt δεν μπορεί να δώσει την ιδέα μιας λύσης ειδικά αν δεν έχει ''δει'' κάτι παρόμοιο .Είναι ένας καλός βοηθός που θα γίνεται καλύτερος.Η χρήση του εκτός από ευκολία και ταχύτητα , και ενημέρωση για πράγματα σχετικά με το πρόβλημα , βοηθάει και στην απομυθοποίηση αυτού του εργαλείου.Για λεπτομέρειες δείτε τη συζήτηση A.I. KILLERS (MATHADE RUNNER). Among Us Online

Συμφωνώ απόλυτα! Το ChatGPT είναι ένα εξαιρετικό εργαλείο που μπορεί να προσφέρει βοήθεια, καθοδήγηση και πληροφορίες, αλλά δεν αντικαθιστά την ανθρώπινη σκέψη και δημιουργικότητα στη λύση προβλημάτων. Η χρήση του με κριτική σκέψη και σωστή αξιολόγηση των απαντήσεων είναι το κλειδί για την αποτελεσματική αξιοποίησή του.

[αρψ2400]

Πρόβλημα 4. Κάθε κελί ενός τετραγώνου 100 \times 100 είναι χρωματισμένο είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Προέκυψε ότι για κάθε λευκό κελί ακριβώς δυο γειτονικά του κατά πλευρά κελιά είναι χρωματισμένα με λευκό χρώμα και για κάθε μαύρο κελί ακριβώς δυο γειτονικά κατά πλευρά κελιά είναι χρωματισμένα με μαύρο. Να βρείτε τον μέγιστο δυνατό αριθμό μαύρων κελιών.

Ένα ποιό δύσκολο παρόμοιο πρόβλημα. (Από κάποια επιτήρηση Πανελληνίων όπου τα μηδενικά και οι άσσοι ήταν αγόρια-κορίτσια σε θρανία.)''Σε διάταξη 100 επί 100 μηδενικών (100x100), αντικαταστήστε τον ελάχιστο δυνατό αριθμό από αυτά με άσους, ώστε κανένα μηδενικό (μετά την αντικατάσταση) να μην γειτνιάζει (μπροστά- πίσω- αριστερά- δεξιά) με 3 ή 4 μηδενικά.''