Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

LII Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 2 Φεβρουαρίου 2026.

1. Οι αριθμοί a,b

και

είναι τέτοιοι, ώστε a^2+b^2< (a-b)^2

και

. Να αποδείξετε, ότι a^4+c^4 < (a+c)^4

.

2. Σε ένα τετραγωνισμένο τετράγωνο $11 \times 11$ σημειώθηκαν όλες οι 144

κορυφές των κελιών. Ύστερα τα σημειωμένα σημεία χρωματίστηκαν με πέντε χρώματα. Για ποιο μέγιστο

μπορεί να προκύψει, ότι η απόσταση μεταξύ οποιονδήποτε δυο σημειωμένων σημείων ίδιου χρώματος θα είναι τουλάχιστον

;

3. Ο Γιάννης και ο Γιώργος παίζουν ένα παιχνίδι. Στην αρχή του παιχνιδιού στο τραπέζι βρίσκονται 1000

σωροί, αποτελούμενοι από $1, 2, 3, 4 \ldots, 999, 1000$ σπίρτα αντίστοιχα. Τα παιδιά παίζουν με την σειρά, ξεκινάει ο Γιάννης. Το κάθε παιδί με την κίνησή του μπορεί να πάρει οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό σπίρτων από τον σωρό με τα περισσότερα σπίρτα (ακριβώς από ένα σωρό, αν τέτοιοι είναι μερικοί). Κερδίζει αυτός, που θα πάρει το τελευταίο σπίρτο. Ποιο από τα παιδιά μπορεί να παίξει έτσι, ώστε εγγυημένα να εξασφαλίσει την νίκη;

4. Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος

, ώστε για κάποιους τρεις διαιρέτες του a,b,c

μεγαλύτερους του

, το γινόμενο (a-1)(b-1)(c-1)

να διαιρείται με τον n^2

;

5. Τα κυρτά τετράπλευρα ABCD

και

είναι τοποθετημένα έτσι, ώστε οι ευθείες KL, LM, MN

και

να αποτελούν τις διχοτόμους των εξωτερικών γωνιών A, B, C

και

του τετράπλευρου ABCD

αντίστοιχα. Εξάλλου το ABCD

δεν είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι του τετράπλευρου KLMN

τέμνονται στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι αν $\angle BAD=\angle BCD <90^0$ , τότε PA=PC

.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 07, 2026 11:10 am

1. Οι αριθμοί και είναι τέτοιοι, ώστε και . Να αποδείξετε, ότι .

H πρώτη γράφεται ισοδύναμα 2ab <0

. Άρα $a,\,b$ μη μηδενικοί και ετερόσημοι. Όμοια από την δεύτερη, $b,\,c$ μη μηδενικοί και ετερόσημοι. Έπεται ότι οι $a,\,c$ είναι μη μηδενικοί και ομόσημοι ως και οι δύο ετερόσημοι του

. Ειδικά

, οπότε

αρψ2400 · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 07, 2026 11:10 am
LII Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 2 Φεβρουαρίου 2026.

3. Ο Γιάννης και ο Γιώργος παίζουν ένα παιχνίδι. Στην αρχή του παιχνιδιού στο τραπέζι βρίσκονται σωροί, αποτελούμενοι από $1, 2, 3, 4 \ldots, 999, 1000$ σπίρτα αντίστοιχα. Τα παιδιά παίζουν με την σειρά, ξεκινάει ο Γιάννης. Το κάθε παιδί με την κίνησή του μπορεί να πάρει οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό σπίρτων από τον σωρό με τα περισσότερα σπίρτα (ακριβώς από ένα σωρό, αν τέτοιοι είναι μερικοί). Κερδίζει αυτός, που θα πάρει το τελευταίο σπίρτο. Ποιο από τα παιδιά μπορεί να παίξει έτσι, ώστε εγγυημένα να εξασφαλίσει την νίκη;

Ο Γιάννης παίζει πρώτος και αφήνει από τα 1000

,

σπίρτα παίρνοντας

μόνο .Η στρατηγική νίκης είναι να αφήνει άρτιο το πλήθος των μέγιστων ισοβαθμιών , πράγμα που καταλήγει σε άρτιο πλήθος άσων , με τον Γιώργο να ξεκινάει να μαζεύει άσους και να χάνει.Εύκολα βλέπουμε ότι μπορεί να το κάνει πάντα αυτό ο Γιάννης.Αν του δοθούν

,

, ...ίσοι μέγιστοι κόβει έναν κάνοντάς τον άσο .Αν του δοθεί ένας μέγιστος σωρός ελέγχει τους σωρούς που ακολουθούν και αν υπάρχει άρτια ισοβαθμία μετατρέπει το μέγιστο σε κάτι μικρότερο ( άσσο για παράδειγμα για να μην χάνει χρόνο).Αν υπάρχει περιττή ισοβαθμία μετατρέπει το μέγιστο σε ισόποσο με τους περιττούς σωρούς που ακολουθούν κάνοντας το πλήθος άρτιο.Ο Γιώργος θα χαλάει αναγκαστικά τις άρτιες ισοβαθμίες σε περιττές ισοβαθμίες (ακόμα και ενός σωρού ),αφού θα πρέπει να πάρει σπίρτο από μία από τις άρτιες μέγιστες ισοβαθμίες που του αφήνει ο Γιάννης.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 07, 2026 11:10 am
4. Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος , ώστε για κάποιους τρεις διαιρέτες του μεγαλύτερους του , το γινόμενο να διαιρείται με τον ;

Δεν υπάρχει:

Αν υπήρχε τότε αφού n^2 |(a-1)(b-1)(c-1)

και εξ υποθέσεως a|n

θα είχαμε

.

Όμως ο Μ.Κ.Δ. (a^2,a-1)=1

άρα θα ίσχυε a^2 |(b-1)(c-1)

.

Όμοια b^2 |(a-1)(c-1)

και

.

Έπεται με πολλαπλασιασμό κατά μέλη a^2 b^2c^2|(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2

. Αλλά αυτό είναι άτοπο αφού, συγκρίνοντας όρο προς όρο, είναι

(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2< a^2 b^2c^2

#5

Al.Koutsouridis έγραψε:5.Τα κυρτά τετράπλευρα και είναι τοποθετημένα έτσι, ώστε οι ευθείες και να αποτελούν τις διχοτόμους των εξωτερικών γωνιών και του τετράπλευρου αντίστοιχα. Εξάλλου το δεν είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι του τετράπλευρου τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι αν $\angle BAD=\angle BCD <90^0$ , τότε .

$\bullet$ Έστω τα σημεία $S\equiv AB\capCD$ και $T\equiv AD\cap BC.$

Το σημείο

είναι έγκεντρο στο τρίγωνο $\vartriangle SAD$ και το σημείο

είναι

παράκεντρο στο τρίγωνο $\vartriangle SBC.$

Οι ευθείες SK, SM

ταυτίζονται, ως διχοτόμοι της γωνίας $\angle S$ και επόμένως τα σημεία S, K, M

είναι συνευθειακά και ομοίως τα σημεία T, N, L

είναι συνευθειακά με την ευθεία TNL

διχοτόμο της γωνίας $\angle T.$

: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 - 9η τάξη - Πρόβλημα 5.; f=58 t=78854.PNG (37.73 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

$\bullet$ Από $\angle SAT=180^{o}-\angle BAD=180^{o}-\angle BCD=\angle SCT,$ έχουμε ότι το τετράπλευρο SACT

είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω (O).

Οι διχοτόμοι SK, TN

τώρα, των ίσων γωνιών $\angle S=\angle T$ περνάνε από το μέσον του τόξου $\overset\frown{AC}$ του κύκλου (O,)

το οποίο ταυτίζεται προφανώς με το σημείο $P\equiv SKM\cap TNL.$

Συμπεραίνεται έτσι ότι ισχύει $\boxed{PA=PC}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει και $\boxed{PK=PN}$

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση