Putnam 2016/B1

#1

Δίνεται ακολουθία $x_0,x_1,x_2,\dots$ η οποία ορίζεται αναδρομικά ως x_0=1

και $n\ge 0,$

$\displaystyle{x_{n+1}=\ln(e^{x_n}-x_n)}$ για $n \geqslant 1$ .

Να δειχθεί ότι η άπειρη σειρά

$\displaystyle{x_0+x_1+x_2+\cdots}$

συγκλίνει, και να υπολογιστεί το άθροισμά της.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Κάπου την έχω δει στο forum.
Την είχα λύσει αλλά δεν είχα γράψει την λύση.

Επειδή $e^{x}> 1+x,x>0$

και $x_{0}=1$

Επαγωγικά
βλέπουμε ότι $x_{n}> 0$

Από την $x_{n}=e^{x_{n}}-e^{x_{n+1}}$ (1)

έχουμε ότι η ακολουθία είναι φθίνουσα.

Αφου είναι και κάτω φραγμένη συγκλίνει.

Κατά τα γνωστά το όριο της είναι ρίζα της $x=ln(e^{x}-x)$

Αρα συγκλίνει στο

Λόγω της (1) έχουμε $\sum_{k=0}^{n}x_{k}=e^{x_{0}}-e^{x_{n+1}}\rightarrow e-1$

Συμπλήρωμα.Εγραψα $x_{0}=1$ και προσέθεσα την λέξη επαγωγικά για να γίνει σαφέστερη η λύση.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Κάπου την έχω δει στο forum.
Την είχα λύσει αλλά δεν είχα γράψει την λύση.

Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε πότε μπήκε διότι τα προβλήματα του Putnam υποτίθεται είναι πρωτότυπα. Ο διαγωνισμός πάντως έγινε αρχές Δεκεμβρίου οπότε αν μπήκε μετά τότε η πηγή μάλλον θα ήταν ο Putnam.

Πάντως τουλάχιστον ένα από τα φετινά προβλήματα (από αυτά που ακόμη δεν μετέφερα εδώ) ήταν αρκετά γνωστό. (Τουλάχιστον σε εμένα.)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Δημήτρη μάλλον έκανα λάθος.
Το μπέρδεψα με το
viewtopic.php?f=60&t=55757&p=268150#p268150

Putnam 2016/B1

Putnam 2016/B1

Re: Putnam 2016/B1

Re: Putnam 2016/B1

Re: Putnam 2016/B1

Μέλη σε σύνδεση