IMC 2017/2/4

#1

Έστω $f_1,f_2,\ldots :[0,1)\to \mathbb{R}$ ακολουθία συνεχώς παραγωγίσιμων συναρτήσεων η οποία ορίζεται από την αναδρομική σχέση

$\displaystyle{ f_1=1, \quad f_{n+1}'=f_nf_{n+1} }$ στο $(0,1) \quad$ , και $\quad f_{n+1}(0)=1$ .

Να δειχθεί ότι το $\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)$ υπάρχει για κάθε $x\in [0,1)$ και να βρεθεί το όριο.

fdns · #2

Πολλαπλασιάζουμε την αναδρομική με την ποσότητα: $\displaystyle{e^{-\int_{0}^{x}f_n (t)\, \mathrm{d} t}}$ και αφού χρησιμοποιήσουμε την αρχική συνθήκη, έχουμε ότι: $\displaystyle{f_{n+1}(x)=e^{\int_{0}^{x}f_n (t)\, \mathrm{d} t}}$ , για $x\in [0,1)$ . (παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι θετική)

Θα δείξουμε ότι η ακολουθία $\{ f_n\}$ συγκλίνει κατά σημείο. Αρχικά παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{f_2 (x)=e^x\geq 1= f_1 (x)}$ και επαγωγικά έπεται άμεσα ότι η ακολουθία των συναρτήσεων είναι αύξουσα. Ορίζουμε $\displaystyle{f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n (x)}$ στο [0,1)

η οποία είναι μετρήσιμη συνάρτηση ως όριο μετρήσιμων.

Μπορούμε μάλιστα να δείξουμε ότι η ακολουθία $\{ f_n\}$ είναι άνω φραγμένη. Υποπτευόμαστε ότι η

θα ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση g'=g^2

η οποία, λόγω της αρχικής συνθήκης, έχει μοναδική λύση, την $\frac{1}{1-x}$ . Παρατηρούμε ότι $f_1 (x)=1\leq\frac{1}{1-x}$ . Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι $f_n (x)\leq\frac{1}{1-x}$ , άρα: $f(x)\leq\frac{1}{1-x}<+\infty$ .

Από το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης του Lebesgue, μπορούμε να περάσουμε το όριο μέσα από το ολοκλήρωμα (για σταθερό $x\in [0,1)$ ), και έτσι έχουμε ότι: $\displaystyle{f(x)=e^{\int_{0}^{x}f(t)\, \mathrm{d} t}}$ .

Το ολοκλήρωμα Lebesgue $\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)\, \mathrm{d} t}$ της

είναι συνεχής συνάρτηση του

και άρα, λόγω της ισότητας $\displaystyle{f(x)=e^{\int_{0}^{x}f(t)\, \mathrm{d} t}}$ , έχουμε ότι η

είναι συνεχής συνάρτηση και άρα το ολοκλήρωμά της είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σε όλο το [0,1)

.

Συνεπώς έχουμε ότι: $\displaystyle{\left( e^{-\int_{0}^{x}f(t)\, \mathrm{d} t} \right) ' =-1}$ από την οποία, εφαρμόζοντας την αρχική συνθήκη f(0)=1

, έχουμε τελικά ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1-x}}$ στο [0,1)

IMC 2017/2/4

IMC 2017/2/4

Re: IMC 2017/2/4

Μέλη σε σύνδεση