Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μάιος 10, 2017 11:44 am

Έστω συνεχής συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} η οποία ικανοποιεί την σχέση f(x+2y) = 2f(x)f(y) για κάθε x,y \in \mathbb{R}.

Να αποδειχθεί ότι η f είναι σταθερή.



Λέξεις Κλειδιά:
raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Τετ Μάιος 10, 2017 1:03 pm

Demetres έγραψε:Έστω συνεχής συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} η οποία ικανοποιεί την σχέση f(x+2y) = 2f(x)f(y) για κάθε x,y \in \mathbb{R}.

Να αποδειχθεί ότι η f είναι σταθερή.
Γεια σας κ. Δημήτρη! Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια.

Εναλλάσσοντας τα x, y λαμβάνουμε f(y + 2x) = 2f(y)f(x) για κάθε x, y \in \Bbb{R}.

Επομένως f(x + 2y) = f(y + 2x) για κάθε x, y \in \Bbb{R}.

Θέτοντας σ' αυτήν y = -2x είναι f(-3x) = f(0) για κάθε x \in \Bbb{R} από όπου για x το -x/3 παίρνουμε f(x) = f(0) για κάθε x \in \Bbb{R}, δηλαδή η f είναι σταθερή.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μάιος 10, 2017 1:45 pm

raf616 έγραψε: Γεια σας κ. Δημήτρη! Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια.
:coolspeak:

Εγώ το πήγα με βάση την επίσημη λύση:

Θέτω y=0 και παίρνω f(x) = 2f(x)f(0). Αν f(x) = 0 για κάθε x \in \mathbb{R} τότε τελείωσα. Αλλιώς, πρέπει f(0) = 1/2. Τώρα θέτω x=0 και παίρνω f(2y) = f(y) για κάθε y \in \mathbb{R}. Επαγωγικά παίρνω f(y) = f(y/2^n) για κάθε y \in \mathbb{R} και κάθε n \in \mathbb{N}. Παίρνοντας όρια και χρησιμοποιώντας την συνέχεια της f καταλήγουμε στην f(y) = f(0) για κάθε y \in \mathbb{R}.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Τετ Μάιος 10, 2017 10:37 pm

Η παρακάτω λύση δεν συγκρίνεται με την απλότητα των προηγούμενων.

Έχουμε \displaystyle{2f(x)f(y+z)=f(x+2(y+z))=f(x+2y+2z)=2f(x+2y)f(z)=4f(x)f(y)f(z)} Είτε η f είναι ταυτοτικά 0 ή \displaystyle{2f(y+z)=4f(y)f(z)}. Από εδώ κλασικά μέσω της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy βρίσκουμε \displaystyle{2f(x)=e^{ax}}. Βάζοντας την στην εξίσωση προκύπτει ότι a=0. Τελικά οι λύσεις είναι οι σταθερές 0 και 1/2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες