Vojtech Jarnik 2017/1 Category II

#1

Έστω ακολουθία (a_n)

με $a_n \in \{0,1\}$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ . Ορίζουμε συνάρτηση $F:(-1,1) \to \mathbb{R}$ ως

$\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n.}$

Αν το F(1/2)

είναι ρητός, να δειχθεί ότι η F(x)

είναι πηλίκο δύο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.

#2

Demetres έγραψε:Έστω ακολουθία με $a_n \in \{0,1\}$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ . Ορίζουμε συνάρτηση $F:(-1,1) \to \mathbb{R}$ ως

$\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n.}$

Αν το είναι ρητός, να δειχθεί ότι η είναι πηλίκο δύο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.

Καλούλα.

Αφού το F(1/2)

είναι το δυαδικό ανάπτυγμα του ρητού, σημαίνει ότι το ανάπτυγμα αυτό είναι είτε πεπερασμένο (δηλαδή μηδενικά από ένα σημείο και πέρα) ή περιοδικό. Η πρώτη περίπτωση δίνει αμέσως το ζητούμενο. Η δεύτερη ανάγεται σε άθροισμα της μορφής

$(kati) + A+Ax^n+ Ax^{2n} + Ax^{3n}+...$ όπου $A=a_kx^k+...+a_{k+n-1}x^{k+n-1}$ το περιοδικό κομμάτι. Το τελευταίο αθροίζεται ως γεωμετρική πρόοδος (παρονομαστής 1/(1-x^n)

) από όπου αμέσως το ζητούμενο.

Vojtech Jarnik 2017/1 Category II

Vojtech Jarnik 2017/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category II

Μέλη σε σύνδεση