Putnam 2018/A5

#1

Έστω απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε f(0) = 0

,

και $f(x) \geqslant 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος

και πραγματικός αριθμός

ώστε $f^{(n)}(x) < 0$ .

#2

Μπράβοοο! Μας αντιγράφει ο Putnam;

Πολύ παλιά είχα φτιάξει την άσκηση εδώ η οποία είναι παρεμφερής με την Putnam. H λύση που δίνω μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί για την ίδια την Putnam. Τουλάχιστον έτσι νομίζω κοιτώντας την πρόχειρα, πάντως θα το ξαναδώ γιατί τώρα έχω μάθημα και συμβούλιο ενώ αργότερα διαγώνισμα, και έχω πανικό...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 05, 2018 10:40 am
Έστω απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε , και $f(x) \geqslant 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος και πραγματικός αριθμός ώστε $f^{(n)}(x) < 0$ .

Αν δεν ισχύει τότε θα πρέπει

$f^{(n)}(x)\geq 0$

για $x\in \mathbb{R}$

και n=0,1,2.....

Θα έχουμε ΑΤΟΠΟ δείχνοντας το γενικότερο.

Αν $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$

άπειρες φορές παραγωγίσημη και
$f^{(n)}(x)\geq 0$

για $x \in (a,b)$ και n=0,1,2.....

τότε δύο περιπτώσεις υπάρχουν

f(x)=0

για $x \in (a,b)$ η

f(x)>0

για $x \in (a,b)$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ.
Η συνάρτηση είναι αύξουσα καθώς και όλες οι παράγωγοι της.

Αν δεν ισχύει καμία από τις δύο θα υπάρχει $c\in (a,b)$

ωστε $x\in (a,c]\Rightarrow f(x)=0 \wedge x\in (c,b)\Rightarrow f(x)>0$
( $c=inf\left \{ x\in (a,b):f(x)>0 \right \}$ )

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι c=0

(παίρνουμε την f(x-c)

)

Προφανώς είναι $f^{(n)}(0)=0$ για n=0,1,2.....

Για

κάνοντας Taylor έχουμε

$f(x)=f^{(n)}(\xi )\dfrac{x^{n}}{n!}\leq f^{(n)}(x )\dfrac{x^{n}}{n!}$

Εστω τώρα 0<d<b

Κάνοντας Taylor με κέντρο το $\frac{d}{2}$

έχουμε

$f(d)=f(\frac{d}{2})+...+f^{(k)}(\frac{d}{2})\frac{(\frac{d}{2})^{k}}{k!}+.....+f^{(m)}(\frac{d}{2})\frac{(\frac{d}{2})^{m}}{m!}\geq (m+1) f(\frac{d}{2})$

που αφού το

είναι όσο μεγάλο θέλουμε εχουμε ΑΤΟΠΟ.

Putnam 2018/A5

Putnam 2018/A5

Re: Putnam 2018/A5

Re: Putnam 2018/A5

Μέλη σε σύνδεση