Ανισότητα με Γ

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} \geq 1}$
όπου a, b, c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γινόμενο

.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Ιουν 30, 2020 9:03 pm Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} \geq 1}$
όπου θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γινόμενο .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση $\Gamma$ είναι κυρτή στο $(0,\infty)$ . Επομένως από την ανισότητα Jensen έχουμε:

$\displaystyle \frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} = \frac{\Gamma(a) + a\Gamma(b) + ab\Gamma(c)}{1+a+ab} \geqslant \Gamma\left( \frac{a+ab+abc}{1+a+ab}\right) = \Gamma(1) = 1$

Tolaso J Kos · #4

Σωστά Δημήτρη. Λίγο πιο αναλυτικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum \frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} &= \frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{a}{a} \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{ab}{ab} \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} \\ &=\frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{a\Gamma(b)}{a+ab+abc} + \frac{ab\Gamma(c)}{ab+abc+abca} \\ &=\frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{a \Gamma(b)}{1+a+ab} + \frac{ab \Gamma(c)}{1+a+ab} \\ &=\frac{\Gamma(a) + a \Gamma(b) + ab \Gamma(c)}{1+a+ab} \\ &\geq \Gamma \left ( \frac{1+a + ab}{1+a+ab} \right ) \\ &= 1 \end{aligned}}$

#5

Τόλη, με όλο το συμπάθιο, ο πειρασμός είναι να κάνω ένα σχόλιο:

Γράφει ο Δημήτρης, για παράδειγμα, ότι για abc=1

ισχύει $\dfrac{\Gamma(b)}{1+b+bc} = \dfrac{a\Gamma(b)}{1+a+ab}$ , για το οποίο σχολιάζεις ότι το αριστερό μέλος γράφεται

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 01, 2020 1:48 am Σωστά Δημήτρη. Λίγο πιο αναλυτικά:

$\displaystyle{= \dfrac{a}{a} \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} = \dfrac{a\Gamma(b)}{a+ab+abc} =\dfrac{a\Gamma(b)}{1+a+ab}$

Ε όχι! Εδώ έχουμε άσκηση από Ολυμπιάδα φοιτητών η λύση της οποίας χρησιμοποιεί συνάρτηση $\Gamma$ , την κυρτότητά της και ανισότητα Jensen. Το να προσθέσουμε ότι $1= \frac {a}{a}$ είναι μεν σωστό αλλά παρατραβηγμένο.

Θέλω να πω: Στο φόρουμ δεν πρέπει να δίνουμε εσφαλμένα μηνύματα. Οι λύσεις, ιδίως για προχωρημένα θέματα, πρέπει να έχουν την προσήκουσα οικονομία. Προφανή και τετριμμένα βήματα, πρέπει κατά κανόνα να αποφεύγονται. Τα παραπάνω αναλυτικότερα βήματα ενδεχομένως να τα απαιτούσα σε γραπτό μαθητή Γυμνασίου, αλλά σε θέμα με συναρτήσεις $\Gamma$ και Jensen είναι σίγουρα σχοινοτενείς περιττολογίες. Γνώμη μου.

Ανισότητα με Γ

Ανισότητα με Γ

Re: Ανισότητα με Γ

Re: Ανισότητα με Γ

Re: Ανισότητα με Γ

Re: Ανισότητα με Γ

Μέλη σε σύνδεση