Ανισότητα με Γ

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4304
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανισότητα με Γ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιουν 30, 2020 9:03 pm

Έστω \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} \geq 1}
όπου a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γινόμενο 1.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 653
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανισότητα με Γ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιουν 30, 2020 9:17 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 9:03 pm
Έστω \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} \geq 1}
όπου a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γινόμενο 1.
βάζω στοίχημα ότι είναι ρουμάνικο!


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με Γ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 30, 2020 11:42 pm

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση \Gamma είναι κυρτή στο (0,\infty). Επομένως από την ανισότητα Jensen έχουμε:


\displaystyle \frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca}  =  \frac{\Gamma(a) + a\Gamma(b) + ab\Gamma(c)}{1+a+ab} \geqslant \Gamma\left( \frac{a+ab+abc}{1+a+ab}\right) = \Gamma(1) = 1


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4304
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με Γ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 01, 2020 1:48 am

Σωστά Δημήτρη. Λίγο πιο αναλυτικά:

\displaystyle{\begin{aligned} \sum \frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} &= \frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{a}{a} \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} + \frac{ab}{ab} \frac{\Gamma(c)}{1+c+ca} \\  
&=\frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{a\Gamma(b)}{a+ab+abc} + \frac{ab\Gamma(c)}{ab+abc+abca} \\ 
&=\frac{\Gamma\left ( a \right )}{1+a+ab} + \frac{a \Gamma(b)}{1+a+ab} + \frac{ab \Gamma(c)}{1+a+ab} \\  
&=\frac{\Gamma(a) + a \Gamma(b) + ab \Gamma(c)}{1+a+ab} \\  
&\geq \Gamma \left ( \frac{1+a + ab}{1+a+ab} \right ) \\  
&= 1  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα με Γ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 01, 2020 8:45 am

Τόλη, με όλο το συμπάθιο, ο πειρασμός είναι να κάνω ένα σχόλιο:

Γράφει ο Δημήτρης, για παράδειγμα, ότι για abc=1 ισχύει \dfrac{\Gamma(b)}{1+b+bc} = \dfrac{a\Gamma(b)}{1+a+ab} , για το οποίο σχολιάζεις ότι το αριστερό μέλος γράφεται
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 01, 2020 1:48 am
Σωστά Δημήτρη. Λίγο πιο αναλυτικά:

\displaystyle{=  \dfrac{a}{a} \frac{\Gamma(b)}{1+b+bc} =  \dfrac{a\Gamma(b)}{a+ab+abc} =\dfrac{a\Gamma(b)}{1+a+ab}
Ε όχι! Εδώ έχουμε άσκηση από Ολυμπιάδα φοιτητών η λύση της οποίας χρησιμοποιεί συνάρτηση \Gamma, την κυρτότητά της και ανισότητα Jensen. Το να προσθέσουμε ότι 1= \frac {a}{a} είναι μεν σωστό αλλά παρατραβηγμένο.

Θέλω να πω: Στο φόρουμ δεν πρέπει να δίνουμε εσφαλμένα μηνύματα. Οι λύσεις, ιδίως για προχωρημένα θέματα, πρέπει να έχουν την προσήκουσα οικονομία. Προφανή και τετριμμένα βήματα, πρέπει κατά κανόνα να αποφεύγονται. Τα παραπάνω αναλυτικότερα βήματα ενδεχομένως να τα απαιτούσα σε γραπτό μαθητή Γυμνασίου, αλλά σε θέμα με συναρτήσεις \Gamma και Jensen είναι σίγουρα σχοινοτενείς περιττολογίες. Γνώμη μου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης