IMC 2020/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2020/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am

Έστω θετικός ακέραιος n. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) w οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η w αποτελείται από n γράμματα, όλα από το αλφάβητο \{a,b,c,d\}.
(2) Η w έχει άρτιο πλήθος από a.
(3) Η w έχει άρτιο πλήθος από b.

Π.χ. για n=2 υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι aa,bb,cc,dd,cd και dc.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3119
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2020/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 31, 2020 1:34 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am
Έστω θετικός ακέραιος n. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) w οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η w αποτελείται από n γράμματα, όλα από το αλφάβητο \{a,b,c,d\}.
(2) Η w έχει άρτιο πλήθος από a.
(3) Η w έχει άρτιο πλήθος από b.

Π.χ. για n=2 υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι aa,bb,cc,dd,cd και dc.
Η απάντηση είναι 4^{n-1}+2^{n-1} και βγαίνει σύντομα και εύκολα αν κάποιος γνωρίζει ……..


DrStrange
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Τετ Μάιος 08, 2019 8:30 pm

Re: IMC 2020/1/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από DrStrange » Παρ Ιούλ 31, 2020 2:15 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιούλ 31, 2020 1:34 pm
Demetres έγραψε:
Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am
Έστω θετικός ακέραιος n. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) w οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η w αποτελείται από n γράμματα, όλα από το αλφάβητο \{a,b,c,d\}.
(2) Η w έχει άρτιο πλήθος από a.
(3) Η w έχει άρτιο πλήθος από b.

Π.χ. για n=2 υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι aa,bb,cc,dd,cd και dc.
Η απάντηση είναι 4^{n-1}+2^{n-1} και βγαίνει σύντομα και εύκολα αν κάποιος γνωρίζει ……..
Εγώ γνωρίζω αυτό:

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3119
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2020/1/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 31, 2020 4:26 pm

DrStrange έγραψε:
Παρ Ιούλ 31, 2020 2:15 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιούλ 31, 2020 1:34 pm
Demetres έγραψε:
Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am
Έστω θετικός ακέραιος n. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) w οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η w αποτελείται από n γράμματα, όλα από το αλφάβητο \{a,b,c,d\}.
(2) Η w έχει άρτιο πλήθος από a.
(3) Η w έχει άρτιο πλήθος από b.

Π.χ. για n=2 υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι aa,bb,cc,dd,cd και dc.
Η απάντηση είναι 4^{n-1}+2^{n-1} και βγαίνει σύντομα και εύκολα αν κάποιος γνωρίζει ……..
Εγώ γνωρίζω αυτό:

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.
Σωστά τα γράφεις.
Το ίδιο που έκανα εγώ παραπάνω το κάνουν συνεχώς κάποιοι από τους επιμελητές.
Επειδή θεωρώ ότι αυτοί είναι οι θεματοφύλακες του κανονισμού και το κάνουν, το συμπέρασμα (για τα δικά μου δεδομένα)
είναι ότι είναι ''νόμιμο''.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3119
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2020/1/1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 31, 2020 11:49 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am
Έστω θετικός ακέραιος n. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) w οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η w αποτελείται από n γράμματα, όλα από το αλφάβητο \{a,b,c,d\}.
(2) Η w έχει άρτιο πλήθος από a.
(3) Η w έχει άρτιο πλήθος από b.

Π.χ. για n=2 υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι aa,bb,cc,dd,cd και dc.
Ας δώσω την λύση.
Εχουμε διατάξεις οπότε θα χρησιμοποιήσουμε εκθετική γεννήτρια.
Η μέθοδος είναι στάνταρ και υπάρχει σε όλα τα σοβαρά βιβλία συνδιαστικής.
Οι απαριθμητές για τα a,b είναι
\displaystyle 1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+.....=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
ενώ για τα c,d
\displaystyle 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+....=e^{x}

Η εκθετική γεννήτρια είναι

\displaystyle (\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^{2}(e^{x})^{2}=\frac{1}{4}(e^{4x}+1+2e^{2x})

θέλουμε τον συντελεστή του

\displaystyle \frac{x^{n}}{n!}

που είναι

\displaystyle \frac{1}{4}(\frac{4^{n}}{n!}+2\frac{2^n}{n!})=4^{n-1}+2^{n-1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης