Ελάχιστο παραμέτρων

antonisdroutsas1997 · #1

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^4 +ax^3+bx^2+ax+1=0}$ με a,b

πραγματικοί αριθμοί.Αν η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα τότε να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{a^2+b^2.}$

#2

antonisdroutsas1997 έγραψε: Τρί Μαρ 27, 2018 5:54 pm Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^4 +ax^3+bx^2+ax+1=0}$ με πραγματικοί αριθμοί.Αν η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα τότε να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{a^2+b^2.}$

καλώς όρισες στο mathematica.gr

Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής, 4ου βαθμού, με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντοτε τέσσερεις (μιγαδικές) ρίζες. Προφανώς εννοείς "τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα".

Επίσης, πριν την πρώτη δημοσίευση, καλό είναι να έχουμε διαβάσει τον κανονισμό του mathematica.gr και να επιλέγουμε τον κατάλληλο φάκελο για την δημοσίευσή μας. Ακριβώς επειδή η δημοσίευση έγινε στα "Γενικά Μηνύματα" δεν μπορούμε τα άλλα μέλη να γνωρίζουμε ποια μαθηματικά "επιτρέπονται" για την επίλυση της άσκησης, αλλά ούτε και αν είσαι μαθητής Γυμνασίου, Λυκείου ή...

antonisdroutsas1997 · #3

Καλησπέρα,ευχαριστώ για το καλωσόρισμα.
Η άσκηση δόθηκε στο πανεπιστήμιο και απευθύνεται σε μαθητές τρίτης λυκείου σύμφωνα με την υπόδειξη του καθηγητή.
Η ρίζα είναι πραγματική έχετε δίκιο.

min## · #4

Μπορεί να γραφτεί και ως $x^2+ax+b+ax^{-1}+x^{-2}=0,$ από όπου βγαίνει η δευτεροβάθμια (1) w^2+aw+b-2=0

με (2) $w=x+x^{-1}$ .Αφού η αρχική έχει 1 πραγματική ρίζα,θα ισχύει σε κάποια από τις (2) ότι η δευτεροβάθμια (ως προς

) θα έχει και δεύτερη πραγματική ρίζα.Με λίγη σκέψη, βγαίνει ότι η 1 έχει 2 πραγματικές λύσεις και οι 2(ανάλογα με την τιμή του

τουλάχιστον 2 πραγματικές.Έτσι, η μια λύση της 1 θα είναι σίγουρα στο εύρος της x+1/x

,και η άλλη πιθανότατα όχι.Αν s,t

οι (πραγματικές) ρίζες της 1, από vieta: -s=a,b=st+2

.Άρα

,και υποθέτω ότι το

είναι στο εύρος της x+1/x

( $\leq -2,\geq 2$ ).Αν δω την παραπάνω ως παραμετρική με παράμετρο το

,βγαίνει(λόγω του $s\geq 2,s\leq -2$ ) ότι σε αυτά τα διαστήματα, η παραπάνω είναι αύξουσα και φθίνουσα αντίστοιχα.Επομένως, για να βρεθεί το ελάχιστο, αρκεί να ελεγχθούν οι ακραίες τιμές του

,(2,-2).Θα μείνει λοιπόν να ελαχιστοποιηθούν τα 5t^2+12t+8,5t^2-12t+8

τα οποία ελαχιστοποιούνται για t=1,2 ,-1,2

.Έτσι βρίσκονται τα a,b

(vieta) να είναι -0,8,-0,4

.

Ελπίζω να μην έγινε κάποιο λάθος...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Διαφορετικά ως προς το τελευταίο κομμάτι.

$t=x+\frac{1}{x}$

έχουμε $t^{2}+at+b-2=0$ (1)

Επειδή $\left | x+\frac{1}{x} \right |\geq 2$

η αρχική εξίσωση θα έχει πραγματική λύση αν τουλάχιστον μια ρίζα της (1) έχει απόλυτη τιμή τουλάχιστον

.

Για

η αρχική εξίσωση έχει ρίζα το

.

Αφου ψάχνουμε για ελάχιστη τιμή του $a^{2}+b^{2}$

μπορούμε να περιοριστούμε στα a,b

με $\left | a \right |\leq 1,\left | b \right |\leq 1$

Οι ρίζες της (1) είναι $t_{1}=\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}+8-4b}}{2},t_{2}=\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}+8-4b}}{2}$

θα είναι λοιπόν $t_{1}\geq 2$ η $t_{2}\leq -2$

(λόγω του περιορισμού η διακρίνουσα είναι θετική)

Εστω $t_{1}\geq 2$ .

υψώνοντας κατάλληλα προκύπτει ότι

$-2\geq b+2a$

Η τελευταία ορίζει ένα ημιεπίπεδο .Θέλουμε το σημείο του ημιεπιπέδου που έχει την ελάχιστη απόσταση

από το (0,0)

Προφανώς αυτό βρίσκεται πάνω στην ευθεία

-2=b+2a

και φυσικά θα πρέπει να πληρεί $\left | a \right |\leq 1,\left | b \right |\leq 1$

Φέρνοντας την κάθετη ευθεία βρίσκουμε ότι

$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{2}{5}$

Αν $t_{2}\leq -2$ όμοια διαδικασία δίνει $a=\frac{4}{5},b=-\frac{2}{5}$

Αρα η ελάχιστη τιμή είναι $\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$

Να σημειώσω ότι λόγω του περιορισμού για τα a,b

δεν γίνεται

να είναι $t_{2}\geq 2$ η $t_{1}\leq -2$

#6

Είχα από το πρωί στο σχολείο έτοιμη μια προσέγγιση, δίχως να έχω δει την απάντηση του Σταύρου. Συμπλήρωσα το σχήμα.
Ομολογώ ότι βαδίζω λίγο στα τυφλά, γιατί δεν έχω συναντήσει κάτι παρόμοιο. Πάντως είναι ενδιαφέρουσα η διαδρομή και την χάρηκα, ακόμα κι αν έχω κάνει λάθη! Θα ελέγξω αργότερα αν είναι συμβατή με την απάντηση του Σταύρου. Πάντως για ύλη Γ΄ Λυκείου (σημερινή) με δυσκολία το αποδέχομαι...

: 28-03-2018 Άλγεβρα 1.jpg (64.76 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

Η τιμή

δεν είναι ρίζα της εξίσωσης.

Για $\displaystyle x \ne 0$ η εξίσωση γίνεται $\displaystyle {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + ax + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + ax + b + \frac{a}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {x + \frac{1}{x}} \right)a + b = 0$ (1).

Θέτω $\displaystyle x + \frac{1}{x} = y \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {y^2} - 2$ , οπότε η (1) γίνεται $\displaystyle {y^2} + ay + b - 2 = 0$ (2),

Θέλουμε η (2) να έχει λύση στο R, οπότε πρέπει

$\displaystyle {a^2} - 4b + 8 \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} \ge 4b - 8$ (3)

Για αυτές τις τιμές των a, b

η εξίσωση (2) έχει ρίζες $\displaystyle {\rho _1},\;{\rho _2} \in R,\;\;\;{\rho _1} \le {\rho _2}$ .

Είναι $\displaystyle x + \frac{1}{x} = {\rho _1} \Leftrightarrow {x^2} - {\rho _1}x + 1 = 0$ . Αφού θέλουμε να έχει πραγματική ρίζα, είναι
$\displaystyle \rho _1^2 - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\rho _1} \ge 2\;\;\; \vee \;\;\;{\rho _1} \le - 2$ ή $\displaystyle \rho _2^2 - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\rho _2} \ge 2\;\;\; \vee \;\;\;{\rho _2} \le - 2$

Είναι $\displaystyle {\rho _1} = \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2},\;\;\;{\rho _2} = \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2}$

Οπότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
(α) $\displaystyle \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2} \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 4b + 8} \ge a + 4$
Αν a < -4

ισχύει.
Αν $\displaystyle a \ge - 4$ , τότε $\displaystyle 2a + b + 2 \le 0$ .

(β) $\displaystyle \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2} \le - 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 4b + 8} \le a - 4$
Αν a < 4

είναι αδύνατη.
Αν $\displaystyle a \ge 4$ , τότε $\displaystyle 2a + b \le 2$ .

(γ) $\displaystyle \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2} \ge 2 \Leftrightarrow - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} \ge a + 4$
Αν a > -4

είναι αδύνατη.
Αν $\displaystyle a \le - 4$ , τότε $\displaystyle 2a + b + 2 \ge 0$ .

(δ) $\displaystyle \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2} \le - 2 \Leftrightarrow - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} \le a - 4$
Αν a > 4

ισχύει.
Αν $\displaystyle a \le 4$ , τότε $\displaystyle 2a + b - 2 \ge 0$ .

Μελετάμε τις περιπτώσεις $\displaystyle a \in \left[ { - 4,\;4} \right]$ , ώστε να έχουμε τη μικρότερη τιμή για το a^2

.

Από την (α) έχουμε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a \ge - 4\\ 2a + b + 2 \le 0\\ {a^2} \ge 4b - 8 \end{array} \right.$

Θέτοντας όπου

το

και όπου

το

, σχηματίζω τις ανισότητες
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 4\\ 2x + y + 2 \le 0\\ {x^2} + 8 \ge 4y \end{array} \right.$ που ορίζουν ένα τμήμα του επιπέδου στο οποίο συναληθεύουν.

Σχεδιάζω τον κύκλο x^2+y^2=r^2

που περιέχεται στο τμήμα του επιπέδου αυτού ώστε να έχει την ελάχιστη ακτίνα. Εφάπτεται στην ευθεία 2x+y+2=0

στο σημείο B(-0,8 , -0,4)

που αντιστοιχούν στις ζητούμενες τιμές των a, b

.

Αντίστοιχη λύση θα προκύψει αν θέσουμε a = y, b = x

.

Από τη (δ) έχουμε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a \le 4\\ 2a + b - 2 \ge 0\\ {a^2} \ge 4b - 8 \end{array} \right.$

Ακόμα, δεκτή λύση είναι και τα ζεύγη a = 0,8 , b = -0,4

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Τετ Μαρ 28, 2018 2:20 pm Είχα από το πρωί στο σχολείο έτοιμη μια προσέγγιση, δίχως να έχω δει την απάντηση του Σταύρου. Συμπλήρωσα το σχήμα.
Ομολογώ ότι βαδίζω λίγο στα τυφλά, γιατί δεν έχω συναντήσει κάτι παρόμοιο. Πάντως είναι ενδιαφέρουσα η διαδρομή και την χάρηκα, ακόμα κι αν έχω κάνει λάθη! Θα ελέγξω αργότερα αν είναι συμβατή με την απάντηση του Σταύρου. Πάντως για ύλη Γ΄ Λυκείου (σημερινή) με δυσκολία το αποδέχομαι...

28-03-2018 Άλγεβρα 1.jpg

Η τιμή δεν είναι ρίζα της εξίσωσης.

Για $\displaystyle x \ne 0$ η εξίσωση γίνεται $\displaystyle {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + ax + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + ax + b + \frac{a}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {x + \frac{1}{x}} \right)a + b = 0$ (1).

Θέτω $\displaystyle x + \frac{1}{x} = y \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {y^2} - 2$ , οπότε η (1) γίνεται $\displaystyle {y^2} + ay + b - 2 = 0$ (2),

Θέλουμε η (2) να έχει λύση στο R, οπότε πρέπει

$\displaystyle {a^2} - 4b + 8 \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} \ge 4b - 8$ (3)

Για αυτές τις τιμές των η εξίσωση (2) έχει ρίζες $\displaystyle {\rho _1},\;{\rho _2} \in R,\;\;\;{\rho _1} \le {\rho _2}$ .

Είναι $\displaystyle x + \frac{1}{x} = {\rho _1} \Leftrightarrow {x^2} - {\rho _1}x + 1 = 0$ . Αφού θέλουμε να έχει πραγματική ρίζα, είναι
$\displaystyle \rho _1^2 - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\rho _1} \ge 2\;\;\; \vee \;\;\;{\rho _1} \le - 2$ ή $\displaystyle \rho _2^2 - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\rho _2} \ge 2\;\;\; \vee \;\;\;{\rho _2} \le - 2$

Είναι $\displaystyle {\rho _1} = \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2},\;\;\;{\rho _2} = \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2}$

Οπότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
(α) $\displaystyle \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2} \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 4b + 8} \ge a + 4$
Αν ισχύει.
Αν $\displaystyle a \ge - 4$ , τότε $\displaystyle 2a + b + 2 \le 0$ .

(β) $\displaystyle \frac{{ - a + \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2} \le - 2 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 4b + 8} \le a - 4$
Αν είναι αδύνατη.
Αν $\displaystyle a \ge 4$ , τότε $\displaystyle 2a + b \le 2$ .

(γ) $\displaystyle \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2} \ge 2 \Leftrightarrow - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} \ge a + 4$
Αν είναι αδύνατη.
Αν $\displaystyle a \le - 4$ , τότε $\displaystyle 2a + b + 2 \ge 0$ .

(δ) $\displaystyle \frac{{ - a - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} }}{2} \le - 2 \Leftrightarrow - \sqrt {{a^2} - 4b + 8} \le a - 4$
Αν ισχύει.
Αν $\displaystyle a \le 4$ , τότε $\displaystyle 2a + b - 2 \ge 0$ .

Μελετάμε τις περιπτώσεις $\displaystyle a \in \left[ { - 4,\;4} \right]$ , ώστε να έχουμε τη μικρότερη τιμή για το .

Από την (α) έχουμε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a \ge - 4\\ 2a + b + 2 \le 0\\ {a^2} \ge 4b - 8 \end{array} \right.$

Θέτοντας όπου το και όπου το , σχηματίζω τις ανισότητες
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 4\\ 2x + y + 2 \le 0\\ {x^2} + 8 \ge 4y \end{array} \right.$ που ορίζουν ένα τμήμα του επιπέδου στο οποίο συναληθεύουν.

Σχεδιάζω τον κύκλο που περιέχεται στο τμήμα του επιπέδου αυτού ώστε να έχει την ελάχιστη ακτίνα. Εφάπτεται στην ευθεία στο σημείο που αντιστοιχούν στις ζητούμενες τιμές των .

Αντίστοιχη λύση θα προκύψει αν θέσουμε .

Από τη (δ) έχουμε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a \le 4\\ 2a + b - 2 \ge 0\\ {a^2} \ge 4b - 8 \end{array} \right.$

Ακόμα, δεκτή λύση είναι και τα ζεύγη .

Γεια σου Γιώργο.
Νομίζω ότι είναι σχεδόν ίδια λύση με την δική μου αλλά πολύ πιο αναλυτικά γραμμένη.
Η άσκηση είναι για Β Λυκείου όπου χρειάζονται Μαθηματικά Γενικής και Κατεύθυνσης.
Γ Λυκείου μπορεί να χρησιμοποιηθεί αν βρούμε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από το (0,0)

με παραγώγους

Ελάχιστο παραμέτρων

Ελάχιστο παραμέτρων

Re: Ελάχιστο παραμέτρων

Re: Ελάχιστο παραμέτρων

Re: Ελάχιστο παραμέτρων

Re: Ελάχιστο παραμέτρων

Re: Ελάχιστο παραμέτρων

Re: Ελάχιστο παραμέτρων

Μέλη σε σύνδεση