Απόσταση σε Μετρικούς Χώρους

TrItOs · #1

Έστω ο μετρικός χώρος $\big( \mathbb{X} , d \big)$ και $A \subseteq \mathbb{X}$ . Τότε $d(x,A) = \inf \{ d(x,a) : a \in A \} = 0 \Leftrightarrow x \in \overline{A}$ .
Όπου $\overline{A}$ είναι η κλειστή θήκη του

, δηλαδή είναι η τομή όλων των κλειστών υποσυνόλων του $\mathbb{X}$ που περιέχουν το

και επιπλέον $x \in A$ .
Πράγματι ,
$\Rightarrow \text{ } d(x,A) = 0 \Rightarrow \exists a_{1} \in A : d(x,a_{1}) = 0 \Leftrightarrow x = a_{1} \in A \Rightarrow x \in \overline{A} \quad A \subseteq \overline{A}$
$\Leftarrow \text{ } x \in \overline{A} \Leftrightarrow \exists x_{n} \in A , \forall n \in \mathbb{N} : x_{n} \rightarrow x \Leftrightarrow d(x,x_{n}) \rightarrow 0 , 0 \leqslant d(x,A) \leqslant d(x,x_{n}) \Rightarrow d(x,A) = 0$

#2

TrItOs έγραψε: Τρί Μάιος 26, 2020 7:50 am Έστω ο μετρικός χώρος $\big( \mathbb{X} , d \big)$ και $A \subseteq \mathbb{X}$ . Τότε $d(x,A) = \inf \{ d(x,a) : a \in A \} = 0 \Leftrightarrow x \in \overline{A}$ .
Όπου $\overline{A}$ είναι η κλειστή θήκη του , δηλαδή είναι η τομή όλων των κλειστών υποσυνόλων του $\mathbb{X}$ που περιέχουν το και επιπλέον $x \in A$ .

Πρόκειται για ιδιαίτερα απλή και στάνταρ άσκηση που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Μετρικών Χώρων. Εάν την προτείνεις εδώ για τους αναγνώστες, μάλλον περιττεύει ως κοινοτυπία. Αν θέλεις υπόδειξη για άσκηση που συνάντησες, θα έλεγα προσπάθησέ την ακόμα.

#3

Οι γραμμές από το "Πράγματι" και πέρα προστέθηκαν αργότερα. Δεν ήσαν εκεί όταν πρωτοδιάβασα το μήνυμα. Πάντως, για ξαναδές το

TrItOs έγραψε: Τρί Μάιος 26, 2020 7:50 am
$... \text{ } d(x,A) = 0 \Leftrightarrow \exists a_{1} \in A : d(x,a_{1}) = 0$

Για παράδειγμα αν $x=0, \, A=(0,1)$ τότε d(x,A) = 0

, πλην όμως δεν υπάρχει $a_{1} \in A : d(x,a_{1}) = 0$ (το τελευταίο ισοδυναμεί με $x\in A$ , δηλαδή $0\in (0,1)$ , που δεν ισχύει).

Απόσταση σε Μετρικούς Χώρους

Απόσταση σε Μετρικούς Χώρους

Re: Απόσταση σε Μετρικούς Χώρους

Re: Απόσταση σε Μετρικούς Χώρους

Μέλη σε σύνδεση