Quicky ... με τιμές

KARKAR · #1

Παίρνει η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{4+\sqrt{x}}+\sqrt{4-\sqrt{x}}$ , τις τιμές :

και $\pi$ ;

#2

Η συνάρτηση έχει το ίδιο σύνολο τιμών με την $g:[0,16] \to \mathbb{R}$ με τύπο $\displaystyle g(t) = \sqrt{4+t} + \sqrt{4-t}$ . Έχουμε

$\displaystyle g'(t) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{4+t}} - \frac{1}{\sqrt{4-t}} \right) \leqslant 0$

Άρα η

είναι φθίνουσα και από συνέχεια, το σύνολο τιμών της

είναι $[g(16),g(0)] = [\sqrt{8},4]$ .

Επειδή $e < \sqrt{8} < \pi < 4$ , τότε η

παίρνει την τιμή $\pi$ αλλά όχι την

.

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 11, 2022 11:07 am Παίρνει η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{4+\sqrt{x}}+\sqrt{4-\sqrt{x}}$ , τις τιμές : και $\pi$ ;

Γιατί στα Γενικά Μηνύματα μία κοινότυπη άσκηση στις συναρτήσεις;

Πεδίο ορισμού $[0,\, 16]$ . H συνάρτηση είναι φθίνουσα γιατί εκτός από τα άκρα, έχουμε

$\displaystyle{f'(x) = \dfrac {1}{4\sqrt x} \left ( \dfrac {1} {\sqrt{4+\sqrt{x}}} - \dfrac {1} {\sqrt{4-\sqrt{x}}}\right ) <0}$ (το τελευταίο από την $\sqrt x > -\sqrt x$ )

Άρα σύνολο τιμών το $[f(16),\, f(0) ] =[2\sqrt 2 ,\, 4]$ .

Τέλος $e < 2\sqrt 2 < \pi <4$ (υπόψη $2\sqrt 2 \approx 2,82$ ). Άρα το ένα εντός και το άλλο εκτός συνόλου τιμών.

Edit: Με πρόλαβε ο Δημήτρης στο νήμα. Το αφήνω για τον κόπο.

#4

Με πρόλαβαν. Αφήνω μόνο το σχήμα.

: π και e.png (8.17 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές

Quicky ... με τιμές

Quicky ... με τιμές

Re: Quicky ... με τιμές

Re: Quicky ... με τιμές

Re: Quicky ... με τιμές

Μέλη σε σύνδεση