μιγαδικοί

#1

Εχουμε ένα χάρτη Α.Τον βγάζουμε μια μικρή φωτοτυπία Β.Ρίχνουμε τον Β πάνω στον Α ώστε να μην περισεύει κανένα κομμάτι του Β έξω από τον Α.Να δείξετε οτι υπαρχει μοναδικό σημείο στους Α,Β ,το ένα πάνω από το άλλο που παριστάνουν την ιδια τοποθεσία

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #2

Με την άδεια του Ροδόλφου θα παρακάμψω τους μιγαδικούς αφού έτσι το πρόβλημα γενικεύεται σε περισσότερες διαστάσεις.

Έστω

το σύνολο των σημείων του χάρτη

και $d: S \times S \to \mathbb{R}$ η Ευκλείδεια μετρική. Ορίζουμε απεικόνιση $f:S \to S$ τέτοια ώστε το f(x)

να είναι το σημείο κάτω από το σημείο του χάρτη

που αντιστοιχεί στο

. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η

είναι συνεχής.

Έστω τυχαίο $x_0 \in S$ . Ορίζουμε την ακολουθία (x_n)

με $x_{n+1} = f(x_n)$ . Αν η κλίμακα του χάρτη

ως προς τον

είναι $r \ (0 < r < 1)$ τότε $d (x_{n+1}, x_{n+2}) = r d (x_n, x_{n+1})$ . Έτσι $\displaystyle d (x_m, x_n) < \frac{r^m}{1-r} d(x_0, x_1)$ για $m \leqslant n$ και η (x_n)

είναι Cauchy, οπότε συγκλίνουσα. Έστω $\lim x_n = m \in S$ . Λόγω συνέχειας της

ισχύει

και έτσι αποδείχθηκε η ύπαρξη.

Για τη μοναδικότητα, έστω f(m') = m'

. Ισχύει $d(m,m') = d \left( f(m), f(m') \right) = r d(m,m') \implies d(m,m') = 0 \implies m = m'$ .

#3

πράγματι πρόκειται για πρόβλημα σταθερού σημείου σε...
αν επιμείνω στους μιγαδικούς
μεταφερω το Β(ΑΒCD) κατά το διάνυσμα ΑΑ΄ τότε ο $\displaystyle{z}$ γίνεται $\displaystyle{z+b,b\in C}$
στρέφω τον Β κατά γωνία θ γύρω από την κορυφή Α΄ του Α(Α΄Β΄C΄D΄)ώστε το Β να βρεθεί στην Α΄Β΄τοτε ο $\displaystyle{z+b}$ γίνεται $\displaystyle{(z+b)z_1,|z_1|=1,z_1\ne 1,z_1\in C}$
Μεγενθύνω τον $\displaystyle{(z_1(z+b)}$ κατά την αναλογία του λόγου των πλευρών $\displaystyle{AB/A'B'>1}$ o $\displaystyle{(z+b)z_1}$ γίνεται $\displaystyle{(z+b)z_1a, a>1,a\inR}$ .
Θελουμε ο Α να ταυτιστεί με τον Β ή $\displaystyle{z=w}$ όμως $\displaystyle{w=(z+b)z_1a, a>1,a\inR}$ .αρα $\displaystyle{z= (z+b)z_1a,}$ ή $\displaystyle{(1-z_1a)z=baz_1}$
H εξίσωση είναι 1 ου βαθμου , με $\displaystyle{1\ne z_1a}$ αφου $\displaystyle{|z_1a|>1}$ επομένως έχει ακριβώς μια λύση

μιγαδικοί

μιγαδικοί

Re: μιγαδικοί

Re: μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση