Σύστημα στους ακέραιους και αναζήτηση λύσεων !

#1

Καλησπέρα !

Ένας συνάδελφος μου έστειλε το παρακάτω σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων στο σύνολο των ακεραίων , ρωτώντας με αν μπορούμε με δοκιμές ή άλλους τρόπους να βρούμε(θετικές) ακέραιες λύσεις.

Μου έδωσε μάλιστα μια τέτοια λύση (41,12,49,31)

(ευχαριστώ τον Αχιλλέα για τη διόρθωση) που και αυτού την έδωσε ο συντάκτης του προβλήματος, αλλά και αυτός αναρωτιέται πώς και με πόσες δοκιμές μπορεί να φτάσει κανείς σε αυτή.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ $\mathbb Z$

(a) x^2+5y^2=z^2

(b)

Αξίζει λοιπόν να ασχοληθούμε με τα εξής ερωτήματα , όπως μου έρχονται αυτή τη στιγμή:

(α) Υπάρχει απειρία λύσεων ή όχι ;
(β) Μπορούν να προκύψουν ...κλάσεις λύσεων ;
(γ) Θα μπορούσαν να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος ;
(δ) Ποια είναι η ''μικρότερη '' λύση(με την έννοια του μέτρου), αν δεν μπορεί να βρεθούν όλες ;

Καλό Σαββατοκύριακο !!!

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 23, 2021 10:31 pm
....
Μου έδωσε μάλιστα μια τέτοια λύση που και αυτού την έδωσε ο συντάκτης του προβλήματος, αλλά και αυτός αναρωτιέται πώς και με πόσες δοκιμές μπορεί να φτάσει κανείς σε αυτή.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ $\mathbb Z$

(a) (b)

...

Μια σωστή λύση είναι η $(x,y,z,w)=(41,12,{\color{red}{49}},31)$ .

Το να φτάσεις σε αυτή μπορεί να γίνει ως εξής: Υποθέτουμε ότι $\gcd(x,y)=1$ . Τότε προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις του συστήματος και διαιρώντας με το 2 παίρνουμε την

$x^2=\frac{z^2+w^2}{2}=\left(\frac{z+w}{2}\right)^2+ \left(\frac{z-w}{2}\right)^2$ .

Είναι $\gcd(x,\frac{z+w}{2}, \frac{z-w}{2})=1$ , οπότε από τις Πυθαγόρειες τριάδες παίρνουμε

x=m^2+n^2

, $\frac{z+w}{2}=m^2-n^2$ και $\frac{z-w}{2}=2mn$ .

Έτσι, z=m^2+2mn-n^2

, και

.

Με αφαίρεση κατά μέλη των εξισώσεων του συστήματος, και διαιρώντας με το 2 παίρνουμε

5y^2=(z^2-w^2)/2=4mn(m^2-n^2)

.

Με

, έχουμε

, και με

έχουμε

(*).

Σκεπτόμενοι ότι 25-4^2=9=3^2

, τέλειο τετράγωνο, βλέπουμε ότι μια λύση της (*) προκύπτει θέτοντας n=4

,

, και άρα

.

Επίσης, x=5^2+4^2=41

, $z=5^2+2\cdot 5\cdot 4-4^2=49$ , $w=-5^2+2\cdot 5\cdot 4+4^2=31$ .

Εύκολα ελέγχουμε ότι η παραπάνω τετράδα αποτελεί λύση του συστήματος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 23, 2021 10:31 pm
Καλησπέρα !

Ένας συνάδελφος μου έστειλε το παρακάτω σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων στο σύνολο των ακεραίων , ρωτώντας με αν μπορούμε με δοκιμές ή άλλους τρόπους να βρούμε(θετικές) ακέραιες λύσεις.

Μου έδωσε μάλιστα μια τέτοια λύση που και αυτού την έδωσε ο συντάκτης του προβλήματος, αλλά και αυτός αναρωτιέται πώς και με πόσες δοκιμές μπορεί να φτάσει κανείς σε αυτή.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΟ $\mathbb Z$

(a) (b)

Αξίζει λοιπόν να ασχοληθούμε με τα εξής ερωτήματα , όπως μου έρχονται αυτή τη στιγμή:

(α) Υπάρχει απειρία λύσεων ή όχι ;
(β) Μπορούν να προκύψουν ...κλάσεις λύσεων ;
(γ) Θα μπορούσαν να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος ;
(δ) Ποια είναι η ''μικρότερη '' λύση(με την έννοια του μέτρου), αν δεν μπορεί να βρεθούν όλες ;

Μπάμπη, κάτι δεν πάει καλά. Μάλλον έχεις κάποιο ή κάποια τυπογραφικά.

Ας δούμε μερικά από τα προβλήματα που βλέπω καθώς και κάποιες (τετριμμένες) απαντήσεις σε μερικά από τα ερωτήματα.

1) Παρατηρούμε από την πρώτη εξίσωση ότι το $|z| \ge |x|$ και $|z| \ge |5y| \ge |y|$ . Επίσης $w^2 = x^2-5y^2 \le x^2+5y^2=z^2$ , οπότε $|z|\ge |w|$ . Άρα το |z|

είναι το μεγαλύτερο από τα |x|,|y|,|z|,|w|

οπότε στην λύση που δίνεις δεν μπορεί η σειρά (x,y,z,w)=(41,12,39,31)

να είναι σωστή αφού δείχνει ως μεγαλύτερο το

. Με άλλα λόγια πρέπει να τα διατάξουμε σωστά, με σίγουρο το z=41

. Με τις άλλες τιμές των αγνώστων που δίνεις, απλές δοκιμές δείχνουν ότι η λύση της πρώτης εξίσωσης είναι (μόνο) η επιλογή x=31,y=12

αφού $31^2+5\cdot 12^2=1681=41^2=z^2$ . Όμως τώρα έχουμε πρόβλημα γιατί δεν ικανοποιείται η δεύτερη εξίσωση αφού $31^2-5\cdot 12^2=801\ne 39^2=w^2$ .

2) Σίγουρα υπάρχουν άλλες λύσεις αφού για κάθε λύση (x,y,z,w)

έχουμε και τις $(\pm x,\pm y, \pm z , \pm w)$ (ίσον άλλες

λύσεις αν τα x,y,z,w

είναι μη μηδενικά)

3) Σίγουρα υπάρχουν άπειρες άλλες λύσεις αφού για κάθε λύση (x,y,z,w)

έχουμε και τις (tx,ty,tz,tw)

, για οποιοδήποτε ακέραιο

.

4) Και άλλη απειρία λύσεων είναι η (x,y,z,w)=(n,0,n,n)

, για οποιοδήποτε ακέραιο

.

5) H μικρότερη λύση είναι φυσικά η (0,0,0,0)

.

Κατά τα άλλα δεν ξέρω να απαντήσω επί της ουσίας, αλλά θα περιμένω να γίνουν οι διορθώσεις/διασκευές ώστε να βεβαιωθούμε ότι μιλάμε επί πραγματικών στοιχείων.

Edit: Τώρα βλέπω την παρέμβαση του Αχιλλέα, όπου δίνει κάποιες μη τετριμμένες λύσεις.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 24, 2021 1:04 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 23, 2021 10:31 pm
Καλησπέρα !

Ένας συνάδελφος μου έστειλε το παρακάτω σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων στο σύνολο των ακεραίων , ρωτώντας με αν μπορούμε με δοκιμές ή άλλους τρόπους να βρούμε(θετικές) ακέραιες λύσεις.

Μου έδωσε μάλιστα μια τέτοια λύση που και αυτού την έδωσε ο συντάκτης του προβλήματος, αλλά και αυτός αναρωτιέται πώς και με πόσες δοκιμές μπορεί να φτάσει κανείς σε αυτή.

...........

Μπάμπη, κάτι δεν πάει καλά. Μάλλον έχεις κάποιο ή κάποια τυπογραφικά......................

Edit: Τώρα βλέπω την παρέμβαση του Αχιλλέα, όπου δίνει κάποιες μη τετριμμένες λύσεις.

Μιχάλη, υπάρχει όντως ένα τυπογραφικό ή δεν το άκουσα καλά στο τηλέφωνο. Σε ευχαριστώ και ζητώ συγνώμη!
Ως προς το πρόβλημα, ο συνάδελφος που τον έδωσε στον φίλο Κώστα που με τη σειρά του το έδωσε και σε μένα, υπηρετούσε μαζί με τον Κώστα κάπου στα Δυτικά Προάστια.
Έλεγε στον Κώστα κάτι ...ιστορίες που ενέπλεκαν ως δημιουργό τον Λεγάτο, αλλά αυτά δεν έχουν σημασία.
Τα βασικό ερώτημα προς τον Κώστα ήταν με πόσες δοκιμές βρέθηκε και η λύση και κάποια άλλα ερωτήματα που και εκείνος δεν ...καταλάβαινε.
Από τον ομογένεια των εξισώσεων είχαμε δώσει μερικές απαντήσεις, αλλά θεωρήσαμε με τον Κώστα ότι τύποι που να δίνουν όλες τις λύσεις θα ήταν δύσκολο να βρεθούν.
Αυτά τα γράφω για να μπείτε στο πνεύμα της κουβέντας και του τι περίπου ψάχνουνε οι δύο συνάδελφοι.

Σύστημα στους ακέραιους και αναζήτηση λύσεων !

Σύστημα στους ακέραιους και αναζήτηση λύσεων !

Re: Σύστημα στους ακέραιους και αναζήτηση λύσεων !

Re: Σύστημα στους ακέραιους και αναζήτηση λύσεων !

Re: Σύστημα στους ακέραιους και αναζήτηση λύσεων !

Μέλη σε σύνδεση