θεωρήματα μεσηςτιμης για ολοκληρωματα

#1

Α $\displaystyle{f,g}$ συνεχείς στο $\displaystyle{[a,b]}$ να δείξετε
Α)υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (a,b) . \int_{a}^{b}{f(t)dt}=(b-a)f(\xi)}$
B)υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (0,1) . \int_{0}^{b}{f(t)dt}=bf(b\xi),b>0}$
Γ)υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (a,b) .g(\xi) \int_{a}^{b}{f(t)dt}=f(\xi) \int_{a}^{b}{g(t}dt}}$
χίλια συγνωμη στα Δ,E $\displaystyle{f(x)\ge 0,\xi \in [a,b]}</span>}$
Δ))υπάρχει $\displaystyle{\xi \in [a,b] . \int_{a}^{b}{f(t)g(t)dt}=g(\xi) \int_{a}^{b}{f(t)dt}$
E)υπάρχει $\displaystyle{\xi \in [a,b] . \int_{a}^{b}{f(t)g(t)dt}=g(a) \int_{a}^{\xi}{f(t))dt}+g(b) \int_{\xi}^{b}{f(t)dt}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Σίγουρα στα Δ και Ε πρέπει να μπουν επιπλέον συνθήκες.

π.χ αν στο Δ πάρουμε $f(x)=x-\dfrac{a+b}{2}$

και $g(x)=e^{x}$ δεν υπάρχει $\xi$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το Ε πάλι δεν είναι εντάξει.

π.χ g(x)=(x-a)(b-x)

και

Το Ε είναι το δεύτερο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα .

Αυτό έχει πολλές μορφές που έχουν σχέση με συνέχεια- παραγωγισιμότητα.

Σε μερικές μορφές υποθέτουμε μόνο Riemann ολοκληρωσιμότητα .

Συνήθως για να είναι εύκολη η απόδειξη υποθέτουμε παραγωγισιμότητα.

Πάντως δεν έχω δει μορφή του χωρίς την υπόθεση μονοτονίας για την

.

Η γενικότερη μορφή που γνωρίζω είναι ότι η

είναι μονότονη και η

Riemann ολοκληρώσιμη.

#4

A) Εστω $\displaystyle{F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ παραγωγίσιμη αφού $\displaystyle{f}$ συνεχής. Από το ΘΜΤ για παραγώγους $\displaystyle{F(b)-F(a)=(b-a)F'(\xi),a<\xi<b}$ ή $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t)dt-0=(b-a)f(\xi)}$
B) από το Α) για $\displaystyle{a=0}$ είναι $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t)dt-0=(b)f(u),0<u<b}$ .θετω $\displaystyle{\xi=u/b}$ οπότε $\displaystyle{0<\xi<1}$ και έτσι $\displaystyle{\int_{0}^{b}f(t)dt=bf(\xi b)}$
Γ) Από το ΘΜΤ του Lagrange είναι $\displaystyle{(F(b)-F(a))G'(\xi)=(G(b)-G(a))F'(\xi)}$ όπoυ $\displaystyle{F,G}$ αρχικές των $\displaystyle{f,g}$ τότε

$\displaystyle{g(\xi)\int_{a}^{b}f(t)dt=f(\xi)\int_{a}^{b}g(t)dt$
Δ)αν $\displaystyle{f(x)\ne 0 \forall x \in (a,b)}$ απο το προηγούμενο για $\displaystyle{g=fg ,f=f}$ είναι $\displaystyle{g(\xi)f(\xi)\int_{a}^{b}f(t)dt=f(\xi)\int_{a}^{b}g(t)f(t)dt}$ ή $\displaystyle{g(\xi)\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}g(t)f(t)dt,a<\xi<b}$
Aφου η f δεν εχει ρίζα στο (a,b) kai είναι συνεχης ισοδυναμα θα διατηρεί προσημο
Ε)Αν $\displaystyle{f'\ne 0 x\in (a,b) ,f'}$ συνεχης αρα $\displaystyle{f}$ μονότονη τότε
$\displaystyle{\int_{a}^{x}f(t)g(t)dt=\int_{a}^{x}f(t)G'(t)dt=[f(x)G(x)-0]-\int_{a}^{x}f'(t)G(t)dt.}$ Aπό το Δ) ομως είναι
$\displaystyle{\int_{a}^{x}f'(t)G(t)dt=G(\xi)(f(x)-f(a)) }$ αρα
$\displaystyle{{\int_{a}^{b}f(b)g(t)dt=$
$\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t)G'(t)dt=[f(b)G(b)-0]-\int_{a}^{b}f'(t)G(t)dt.}=}$

$\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t)G'(t)dt=[f(b)G(b)-0]-\int_{a}^{b}f'(t)G(t)dt.}=}$
$\displaystyle{f(b)\int_{a}^{b}g(t)dt-(f(b)-f(a))\int_{a}^{\xi}g(t)dt}=}$
$\displaystyle{f(b)(\int_{a}^{b}g(t)dt-\int_{a}^{\xi}g(t)dt})+f(a)\int_{a}^{\xi}g(t)dt=}$
$\displaystyle{\displaystyle{f(b)(\int_{\xi}^{b}g(t)dt)+f(a)(\int_{a}^{\xi}g(t)dt)}$

θεωρήματα μεσηςτιμης για ολοκληρωματα

θεωρήματα μεσηςτιμης για ολοκληρωματα

Re: θεωρήματα μεσηςτιμης για ολοκληρωματα

Re: θεωρήματα μεσηςτιμης για ολοκληρωματα

Re: θεωρήματα μεσηςτιμης για ολοκληρωματα

Μέλη σε σύνδεση