Κυρτή συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Στο θέμα εδώ ζητήθηκε να μελετηθεί ως προς τη κυρτότητα η συνάρτηση $f(x) = \sqrt{\ln x}$ .

Καλείστε να μελετήσετε τη συνάρτηση $f(x) = \sqrt{ | \ln x| }$ ως προς τη κυρτότητα χωρίς διαφορικό λογισμό. Επιτρέπονται ανώτερα εργαλεία.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Μάιος 20, 2018 2:22 pm Στο θέμα εδώ ζητήθηκε να μελετηθεί ως προς τη κυρτότητα η συνάρτηση $f(x) = \sqrt{\ln x}$ .

Καλείστε να μελετήσετε τη συνάρτηση $f(x) = \sqrt{ | \ln x| }$ ως προς τη κυρτότητα χωρίς διαφορικό λογισμό. Επιτρέπονται ανώτερα εργαλεία.

Τι εννοείς ανώτερα εργαλεία;
Και με παραγώγους δεν είναι εύκολη.
Δεν μπορώ να καταλάβω τι σόι εργαλεία είναι αυτά που βγάζουν
σημεία καμπής.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Πεδίο ορισμού είναι το $(0,\infty )$

Στο

δεν είναι παραγωγίσημη και η δεξιά παράγωγος είναι $\infty$
ενω η αριστερή $-\infty$ .
Για x> 1

εύκολα βλέπουμε ότι f''(x)<0

οπότε είναι κοίλη.

Αυτό μπορούμε να το δούμε και ως εξής:
Επειδή οι $g(x)=\sqrt{x},h(x)=\ln x$ είναι κοίλες
και η

είναι αύξουσα η f=goh

είναι κοίλη.

Για 0<x<1

βρίσκουμε ότι

$f''(x)=\frac{1}{4}\frac{1}{x^{2}}(-\ln x)^{-\frac{3}{2}}(-2\ln x-1)$

Τελικά η συνάρτηση είναι κυρτή στο $(0,e^{-\frac{1}{2}}]$

και κοίλη στα $[e^{-\frac{1}{2}},1],[1,\infty )$

Συμπλήρωμα.Διόρθωσα το πεδίο ορισμού και έσβησα κάποια περιττά.

Tolaso J Kos · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τετ Μάιος 22, 2019 9:29 pm Πεδίο ορισμού είναι το $\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

Σταύρο ,

πρέπει x>0

και $|\ln x| \geq 0$ που ισχύει. Άρα x>0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μάιος 22, 2019 9:41 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τετ Μάιος 22, 2019 9:29 pm Πεδίο ορισμού είναι το $\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

Σταύρο ,

πρέπει και $|\ln x| \geq 0$ που ισχύει. Άρα .

Σωστά το διορθώνω.

Κυρτή συνάρτηση

Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Re: Κυρτή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση