Όριο

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Να υπολογίσετε το $\lim_{x\rightarrow +\infty}x \left [\dfrac{1}{e} -\left (\dfrac{x}{x+1} \right )^x \right ].$

#2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Ιούλ 24, 2020 5:04 pm Να υπολογίσετε το $\lim_{x\rightarrow +\infty}x \left [\dfrac{1}{e} -\left (\dfrac{x}{x+1} \right )^x \right ].$

Είναι

$\displaystyle{\ln \left (\dfrac{x}{x+1} \right )^x = x\ln \left (\dfrac{x}{x+1} \right )= -x\ln \left (1+ \dfrac{1}{x} \right )=-x \left ( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2x^2}+ O \left ( \dfrac{1}{x^3}\right )\right )= }$

$\displaystyle{= -1 + \dfrac{1}{2x} +O \left ( \dfrac{1}{x^2}\right )\right )}$

Άρα, διώχνοντας τον λογάριθμο, παίρνουμε

$\displaystyle{ \left (\dfrac{x}{x+1} \right )^x = e^{ -1 } e^{ \dfrac{1}{2x} +O \left ( \dfrac{1}{x^2}\right )\right )}= \dfrac{1}{e} \left (1 +{ \dfrac{1}{2x} +O \left ( \dfrac{1}{x^2}\right ) \right )}}$

Από όπου το δοθέν

$\displaystyle{ x \left [\dfrac{1}{e} -\left (\dfrac{x}{x+1} \right )^x \right ]= x \left [\dfrac{1}{e} -\dfrac{1}{e}\left (1 +{ \dfrac{1}{2x} +O \left ( \dfrac{1}{x^2}\right ) \right ) \right ]= \textcolor {red} {-} \dfrac{1}{2e} +O \left ( \dfrac{1}{x}\right ) \rightarrow \textcolor {red} {-} \dfrac{1}{2e}}$

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό (ένα πρόσημο).

gomichael · #3

Μόλις τώρα υπολόγισα το όριο με το Mathematica και μου έδωσε αποτέλεσμα -1/2e και όχι 1/2e

!!!
Υπάρχει τυπογραφικό λάθος στο τέλος της λύσης.

#4

gomichael έγραψε: Παρ Ιούλ 24, 2020 9:15 pm Μόλις τώρα υπολόγισα το όριο με το Mathematica και μου έδωσε αποτέλεσμα -1/2e και όχι 1/2e !!!
Υπάρχει τυπογραφικό λάθος στο τέλος της λύσης.

Ευχαριστώ για την επισήμανση. Πρόκειται για προφανές τυπογραφικό σφάλμα στο τελευταίο ίσον.

Θα το διορθώσω αμέσως.

#5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Ιούλ 24, 2020 5:04 pm Να υπολογίσετε το $\lim_{x\rightarrow +\infty}x \left [\dfrac{1}{e} -\left (\dfrac{x}{x+1} \right )^x \right ].$

Και αλλιώς (τα κύρια βήματα)

Είναι $\displaystyle{ \left (\dfrac{x}{x+1} \right )^x = \dfrac {1} { \left (1+\dfrac{1}{x} \right )^x }\rightarrow \dfrac {1}{e}}$ . Γράφοντας $\dfrac {1}{x} = t$ , οπότε $t \rightarrow 0+$ καθώς $x\rightarrow +\infty$ , το προηγούμενο λέει ότι

$(1+t)^{-1/t} \rightarrow \dfrac {1}{e}$ καθώς $t \rightarrow 0+$

Ορίζουμε $\displaystyle{f(t) = \left\{\begin{matrix} (1+t)^{-1/t} & t>0 \\ 1/e & t=0 \end{matrix}\right.}$

H

είναι συνεχής (λόγω των παραπάνω) στο

.

Με χρήση l' Hospital 0/0

το ζητούμενο όριο γράφεται

$\displaystyle{\lim_{t\rightarrow 0+} \dfrac {\dfrac{1}{e} -(1+t)^{-1/t} }{t}= - \lim_{t\rightarrow 0+} \dfrac { f(t)- f(0)}{t-0}= - \lim_{\xi \rightarrow 0+} \dfrac { f'(\xi )}{1}}$

$\displaystyle{=-\lim_{\xi \rightarrow 0+} (1+\xi)^{-1/\xi } \left ( \dfrac{1}{\xi ^2}\ln (1+\xi) - \dfrac{1}{\xi } \cdot \dfrac{1}{1+\xi}\right )= -\lim_{\xi \rightarrow 0+} (1+\xi)^{-1/\xi } \cdot \dfrac {\ln (1+\xi) - \frac {\xi}{\xi+1}}{\xi ^2} }$

O τελευταίος όρος έχει δύο παράγοντες. Ο πρώτος, σύμφωνα με τα παραπάνω τείνει το $\dfrac{1}{e}$ . Ο δεύτερος με δύο φορές l' Hospital έχει όριο

$\displaystyle{ \lim_{\xi \rightarrow 0+} \dfrac {-\frac {1}{(1+\xi)^2}+ \frac {2}{(1+\xi)^3}}{2}= \dfrac {1}{2}}$ . Και λοιπά.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση