Φράγμα ολοκληρώματος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση ώστε

$\left | f(t) \right |\leq \left | t \right |,\left | f(t) \right |\leq \frac{2}{\left | t \right |^{\frac{3}{2}}}$ για κάθε t> 0

Να δείξετε ότι για κάθε a> 0

ισχύει

$\int_{0}^{1}\frac{\left | f(at) \right |^{2}}{t}dt\leq \frac{5}{6}\sqrt[5]{16}$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση ώστε

$\left | f(t) \right |\leq \left | t \right |,\left | f(t) \right |\leq \frac{2}{\left | t \right |^{\frac{3}{2}}}$ για κάθε

Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει

$\int_{0}^{1}\frac{\left | f(at) \right |^{2}}{t}dt\leq \frac{5}{6}\sqrt[5]{16}$

Η αλλαγή μεταβλητής at=u

δίνει

$\displaystyle {I = \int_{0}^{a}\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du \leq \int_{0}^{\infty }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du= \int_{0}^{\sqrt [5]4 }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du$

$\displaystyle {\le \int_{0}^{\sqrt [5]4 }\frac{|u|^2}{u}du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{\left |\frac {2}{\left | u \right |^{\frac{3}{2}}} \right |^{2}}{u}du= \int_{0}^{\sqrt [5]4 }u \, du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{4}{u^4}du$

$\displaystyle {= \frac {\sqrt [5]{16} }{2} +\frac {\sqrt [5]{16} }{3} = \frac{5}{6}\sqrt[5]{16}$

'Οπως θέλαμε.

Προσθέτω ότι εύκολα βρίσκουμε παράδειγμα συνάρτησης που δίνει το αριστερό μέλος όσο κοντά θέλουμε στο δεξί. Δηλαδή το δεξί μέλος είναι το βέλτιστο δυνατό.

Edit: Έκανα μικρή διόρθωση στην τελαυταία παράγραφο.

Φράγμα ολοκληρώματος

Φράγμα ολοκληρώματος

Re: Φράγμα ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση