Η ακολουθία που συγκλίνει στο e

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+c}$

όπου $c\in \mathbb{R}$ παράμετρος.

Να εξετασθεί ως προς την μονοτονία η $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$

για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.
Υπόδειξη.
Μελετήστε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση $f(x)=(x+c)ln(1+\frac{1}{x})$
για τις διάφορες τιμές του

#3

Θέτω

$\displaystyle{ f(x) = (x+c)\log\left(1 + \frac{1}{x}\right) = (x+c)\left(\log(x+1)-\log(x) \right)}$

Τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} f'(x) &= \log(x+1) - \log(x) + (x+c)\left[\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \right] \\ &= \log\left(1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{x+c}{x(x+1)} \\ &= \log\left(1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{x} - \frac{c-1}{x(x+1)} \\ &= -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} + O(1/x^4) - \frac{c-1}{x^2}\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \\ &= -\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} + O(1/x^4) - \frac{c-1}{x^2}\left(1 - \frac{1}{x} + O(1/x^2) \right) \\ &= -\frac{2c-1}{2x^2} + \frac{3c-2}{3x^3} + O(1/x^4) \end{aligned}}$

Οπότε
- Αν c > 1/2

τότε η

είναι αύξουσα σε ένα διάστημα της μορφής $[a_c,\infty)$
- Αν $c \leqslant 1/2$ τότε η f(x)

είναι φθίνουσα σε ένα διάστημα της μορφής $[b_c,\infty)$

Αφού $f(n) = \log{a_n}$ τότε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η ακολουθία (a_n)

είναι:
- Τελικά (eventually, αν απέδωσα σωστά τον όρο) αύξουσα αν c < 1/2

, και
- Τελικά φθίνουσα αν $c \geqslant 1/2$

Σταύρο, δεν ξέρω αν θες περισσότερη διερεύνηση, π.χ. για ποια

είναι ολόκληρη η ακολουθία αύξουσα/φθίνουσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Demetres έγραψε:
Οπότε
- Αν τότε η είναι αύξουσα σε ένα διάστημα της μορφής $[a_c,\infty)$
- Αν $c \leqslant 1/2$ τότε η είναι φθίνουσα σε ένα διάστημα της μορφής $[b_c,\infty)$

.

Προφανώς το σωστό είναι
για $c\geq \frac{1}{2}$ είναι τελικά φθίνουσα και
για $c< \frac{1}{2}$ είναι τελικά αύξουσα.

Μια πιο προσεκτική αντιμετώπιση θα έδινε για την ακολουθία.
1)Για $c\geq\frac{1}{2}$ είναι γνησίως φθίνουσα.
2)Για $ln\frac{4}{e}< c< \frac{1}{2}$ είναι τελικά γνησίως αύξουσα.
(προσδιορίζετε το $n_{0}(c)$ που μετά από αυτό είναι γνησίως αύξουσα.)
3)Για $c\leq ln\frac{4}{e}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Οι αποδείξεις στηρίζονται σε στοιχειώδη λογισμό(εργαλεία Λυκείου)
Οποιος θέλει ας δοκιμάσει .Εχουν ενδιαφέρον.

Η ακολουθία που συγκλίνει στο e

Η ακολουθία που συγκλίνει στο e

Re: Η ακολουθία που συγκλίνει στο e

Re: Η ακολουθία που συγκλίνει στο e

Re: Η ακολουθία που συγκλίνει στο e

Μέλη σε σύνδεση