Κυρτή συνάρτηση φράγμα

Συντονιστής: emouroukos

mikemoke
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Κυρτή συνάρτηση φράγμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Φεβ 17, 2018 5:06 pm

Έστω παραγωγίσιμη f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για κάποιο x_0 \in \mathbb{R} ισχύει ότι f(x_0)=0=f'(x_0) και f(x)>0 \forall x<x_0.

Να εξεταστεί αν υπάρχει g(x) παραγωγίσιμη και κυρτή στο (-\infty,x_0)
με g(x_0)=0=g'(x_0) και g(x)\geq f(x)\forall x\in(-\infty,x_0)
και υπάρχει \left \{ x_n \right \} γνησίως αύξουσα ακολουθία με x_n\rightarrow x_0 τέτοια ώστε g(x_n)=f(x_n)\forall n \in \mathbb{N}
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Δευ Φεβ 19, 2018 10:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1799
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 19, 2018 11:26 am

mikemoke έγραψε:
Σάβ Φεβ 17, 2018 5:06 pm
Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για κάποιο x_0 \in \mathbb{R} ισχύει ότι f(x_0)=0=f'(x_0) και f(x)>0 \forall x<x_0.

Να εξεταστεί αν υπάρχει g(x) παραγωγίσιμη και κυρτή στο (-\infty,x_0)
με g(x_0)=0=g'(x_0) και g(x)\geq f(x)\forall x\in(-\infty,x_0)
και g(x)=f(x)\Rightarrow x=\left \{ x_n \right \} όπου \left \{ x_n \right \} γνησίως αύξουσα ακολουθία με x_n\rightarrow x_0

Σημείωση : x=\left \{ x_n \right \} σημαίνει x=x_1\vee x=x_2\vee ...\vee x=x_n
Η f τι είναι;

Παραγωγίσημη; δύο φορές παραγωγίσημη; η τίποτα.

Επίσης στην x=\left \{ x_n \right \} σημαίνει x=x_1\vee x=x_2\vee ...\vee x=x_n εννοείς ότι υπάρχει

n\in \mathbb{N} με  x=x_n ;


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Δευ Φεβ 19, 2018 11:38 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Φεβ 19, 2018 11:26 am
mikemoke έγραψε:
Σάβ Φεβ 17, 2018 5:06 pm
Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για κάποιο x_0 \in \mathbb{R} ισχύει ότι f(x_0)=0=f'(x_0) και f(x)>0 \forall x<x_0.

Να εξεταστεί αν υπάρχει g(x) παραγωγίσιμη και κυρτή στο (-\infty,x_0)
με g(x_0)=0=g'(x_0) και g(x)\geq f(x)\forall x\in(-\infty,x_0)
και g(x)=f(x)\Rightarrow x=\left \{ x_n \right \} όπου \left \{ x_n \right \} γνησίως αύξουσα ακολουθία με x_n\rightarrow x_0

Σημείωση : x=\left \{ x_n \right \} σημαίνει x=x_1\vee x=x_2\vee ...\vee x=x_n
Η f τι είναι;

Παραγωγίσημη; δύο φορές παραγωγίσημη; η τίποτα.

Επίσης στην x=\left \{ x_n \right \} σημαίνει x=x_1\vee x=x_2\vee ...\vee x=x_n εννοείς ότι υπάρχει

n\in \mathbb{N} με  x=x_n ;
Μια φορά παραγωγίσιμη είναι .

Εννοώ για όλα τα n \in\mathbb{N} .


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7791
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 19, 2018 11:51 am

Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω τι σημαίνει η τελευταία συνθήκη.


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Δευ Φεβ 19, 2018 11:59 am

Demetres έγραψε:
Δευ Φεβ 19, 2018 11:51 am
Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω τι σημαίνει η τελευταία συνθήκη.
Κάθε όρος της ακολουθίας (x_n) να ικανοποιεί την g(x)=f(x).


mikemoke
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Φεβ 24, 2018 2:46 am

mikemoke έγραψε:
Σάβ Φεβ 17, 2018 5:06 pm
Έστω παραγωγίσιμη f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για κάποιο x_0 \in \mathbb{R} ισχύει ότι f(x_0)=0=f'(x_0) και f(x)>0 \forall x<x_0.

Να εξεταστεί αν υπάρχει g(x) παραγωγίσιμη και κυρτή στο (-\infty,x_0)
με g(x_0)=0=g'(x_0) και g(x)\geq f(x)\forall x\in(-\infty,x_0)
και υπάρχει \left \{ x_n \right \} γνησίως αύξουσα ακολουθία με x_n\rightarrow x_0 τέτοια ώστε g(x_n)=f(x_n)\forall n \in \mathbb{N}
Θα αποδείξουμε το γενικότερο . Πρόταση (A)
Έστω παραγωγίσιμη f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για κάποιο a \in \mathbb{R} ισχύει ότι f(a)=l ,f'(a)=l_1 με  l,l_1 \in \mathbb{R}
Ισχύει και η υπόθεση \Upsilon (βλέπε πιο κάτω)
Τότε υπάρχει h(x) κυρτή και παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με g(a)=l,g'(a)=l_1
και υπάρχει \left \{ x_n \right \} γνησίως φθίνουσα ακολουθία με x_n\rightarrow x_0 τέτοια ώστε g(x_n)=f(x_n)\forall n \in \mathbb{N}

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι υπάρχει h_1 κυρτή και παραγωγίσιμη που να είναι άνω φράγμα της f σε μια περιοχή του a και μετά να επεκταθούμε και στο \mathbb{R}.(1)

Έστω O(a,f(a) και \varepsilon \varphi (x) την εφαπτομένη της f στο x=a
Kάνουμε την υπόθεση \Upsilon
ότι \forall \delta >0 \exists \xi \in(a,a+\delta ):f(\xi )>\varepsilon \varphi (x)
Αν δεν ισχύει η παραπάνω υπόθεση τότε \exists \delta _1>0:\forall x\in(a,a+\delta _1) f(x)<\varepsilon \varphi (x)
και τότε έπεται το (1)


Έστω y(x)=k x+f(a)-k a με (\varepsilon \varphi (x))'<k <\frac{f(\xi )-f(a)}{\xi -a}
τότε \exists \delta _2>0:\forall x\in(a,a+\delta _2) f(x)<y(x) και f(a+\delta _2)=y(a+\delta _2) (2)
\nexists \Rightarrow \exists \left \{ z_n \right \} φθίνουσα ακολουθία με z_n\rightarrow a
τέτοια ώστε f(z_n)\geq y(x) \forall n\in\mathbb{N} , x\in\mathbb{R}
Άρα \lim_{n \to \infty}\frac{f(z_n)-f(a)}{z_n-a}\geq k >(\varepsilon \varphi (x))'
ATOΠΟ αφού f'(a)=\lim_{n \to \infty}\frac{f(z_n)-f(a)}{z_n-a}=(\varepsilon \varphi (x))'

Έστω x_0=a+\delta _2
υπάρχει διαμέριση d\equiv \left \{ x_0>x_1>x_2>...>x_n>...>a \right \} του [a,x_o]
και x_n\rightarrow a
τέτοια ώστε \varepsilon \varphi (x)<f(x_1)
και g_{n+1}(x)<f(x_{n+1})<y_n(x) για x_n\in (i_{n+1},x_n) , n\in\mathbb{N}
\varepsilon \varphi (x)<f(x_{n+1})<y_n(x) για x_n\in (a,i_{n+1}) , n\in\mathbb{N}
με \left \{ i_{n+1} \right \} για την οποία ισχύει i_{n+1} \equiv x\in(a,x_0):g_{n+1}(x)=\varepsilon \varphi (x) \forall n \in \mathbb{N}

Ορίζουμε A_0\equiv (x_0,f(x_0)),A_1\equiv (x_1,f(x_1)),..., A_n\equiv (x_n,f(x_n))
και ως y_n ευθεία διερχόμενη από σημεία O,A_n
και ως g_{n+1} ευθεία διερχόμενη από σημεία A_n,A_{n+1}

Από (2) έχουμε f(x)<y_n(x) \forall x\in(a,x_n)\forall n\in \mathbb{N}


Έστω ότι \exists \left \{ \xi _n \right \} ακολουθία με x_{n+1}<\xi_n<x_{n} για κάθε χ εν M ( μη φραγμένο υποσύνολο του \mathbb{N} τέτοια ώστε
d((\xi _n,f(\xi _n)),g_{n+1}(x))=max (d((x,f(x)),g_{n+1}(x))\left \{ x\in(x_{n+1},x_{n}) \right \}
και f(\xi _n)\geq g_{n+1}(x)
και την καλούμε περίπτωση (I)

Aπό αυτά μπορούμε να συνάγουμε ότι
f'(\xi _n)=\frac{f(x_n)-f(x_{n+1})}{x_n-x_{n+1}}
και \varepsilon \varphi _n(x)\geq f(x) \forall x\in(x_{n+1},x_n)\forall n\in\mathbb{N}
με \varepsilon \varphi _n(x) την εφαπτομένη της f σε σημείο (\xi _n,f(\xi _n))

Παρατηρούμε ότι \lim_{n \to \infty}\lambda (A_j,A_n)=y'_k(x) με j\in\mathbb{N}
Άρα μπορούμε να επιλέξουμε κάθε x_n με \left ( n\in\mathbb{N}|n>n_0 \right ) όπου n_0 το ελάχιστο στοιχεία του M
ώστε να ισχύει \varepsilon \varphi _{\mu _1}(x)=\varepsilon \varphi _{\mu _2}(x)\Leftrightarrow x=p<\xi _{\mu _1}
\forall \mu _1<\mu _2 διαδοχικούς όρους εν M και x_{\mu _1}>x_{\mu _2}

Συνάγουμε ότι f(x)<g_{n+1}(x) \forall x\in(x_{n+1},x_n) \forall n\in(\mu _1+1,\mu _2-1)


Αν \nexists \left \{ \xi _n \right \}\Rightarrow \exists \beta >0 :f(x)<g_{n+1}(x) \forall x\in(x_{n+1},x_n) \forall n\in N_1\subseteq \mathbb{N} 
όπου N_1 \equiv \left \{ n\in\mathbb{N} |x_n \in(a,a+\beta ) \right \}
την οποία καλούμε περίπτωση (II)

Eπομένως κατασκευάζεται h_1 που να φράσει την f για μια περιοχή του a ώστε τα x στην περιοχή να είναι x>a
Λόγω συμμετρία έχουμε τα ίδια για περιοχή του a ώστε x<a
Άρα αποδείχθηκε το (1)

Προφανώς η (A) ισχύει στην περίπτωση (I)
Άρα μένει η (II)
Άρα έχουμεg'_n(x)\leq f'(x_n)\leq  g'_{n+1}(x) 
 \forall n>1 ,n\in\mathbb{N}

AN \exists \gamma >0:g'_n(x)<f'(x_n)< g'_{n+1}(x) \forall x\in(x_{n+1},x_n) \forall (n\in \mathbb{N}|x_n\in(a,a+\gamma))
Από (1) έχουμε ότι \exists h_1 που εφάπτεται σε A_n\forall n \in N_1
και φράσει άνω την f για κάθε x\in \pi (x_n) όπου \pi (x_n) περιοχή του x_n

Aπό (II) έχουμε ότι \nexists x\in(x_{n+1},x_n):f(x)=g_{n+1}(x)\forall x\in(x_{n+1},x_n) \forall n\in N_1

Άρα h_1(x)>f(x)\forall x\in (x_{n+1},x_n)\forall n\in N_1 και h_1(x_n)=f(x_n)\forall n\in N_1
Άρα έπεται η (A)



Αλλιώς \exists \left \{ k_n \right \} υπακολουθία της \left \{ x_n \right \} τέτοια ώστε :
(k_n,k_{n+1})\neq (x_m,x_{m+1}) \forall n,m \in \mathbb{N}
και f'(x_n)=g'_n(x) ή f'(x_n)=g'_{n+1}(x) με \left ( n\in\mathbb{N}|x_n=k_m \right ) m\in\mathbb{N}

Από (1) υπάρχει κυρτή , παραγωγίσιμη h(x)>f(x)\forall x\in\pi (k_n)

\exists x_0\in\pi (k_n),x_0<k_n:h'(x_0)>\frac{h(x_0)-f(k_n)}{x_0-k_n}

Aπό αυτά έπεται η (A) για την περίπτωση (II)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης