Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Αν $0\leq a<b\leq \pi$ και $\lambda >0$ , να δείξετε ότι $\int_{a}^{b}e^{-\lambda sinx}dx<\frac{\pi }{\lambda }.$

#2

Έχουμε

$\displaystyle I = \int_a^b e^{-\lambda\sin{x}}\,\mathrm{d}x \leqslant \int_0^{\pi} e^{-\lambda\sin{x}} \,\mathrm{d}x = 2\int_0^{\pi/2} e^{-\lambda\sin{x}} \,\mathrm{d}x$

Από την ανισότητα Jordan, στο $[0,\pi/2]$ έχουμε $\sin{x} \geqslant \frac{2x}{\pi}$ . [Αποδεικνύεται εύκολα από μελέτη της συνάρτησης $f(x) = \sin(x) - \frac{2x}{\pi}$ .]

Άρα $\displaystyle I \leqslant 2\int_0^{\pi/2} e^{-\frac{2\lambda x}{\pi}} \,\mathrm{d}x = 2\left[ -\frac{\pi e^{-\frac{2\lambda x}{\pi}}}{2\lambda}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{\lambda}(1 - e^{-2\lambda}) < \frac{\pi}{\lambda}$

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση