Σαν Θεώρημα Μέσης Τιμής!

#1

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:[a,b]\to \mathbb{R}}$ . Οι $\displaystyle{f',g'}$ είναι συνεχείς, θετικές και αύξουσες.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (a,b)}$ , για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{f'(\xi )g'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot \frac{g(b)-g(a)}{b-a}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

matha έγραψε: Κυρ Οκτ 07, 2018 7:47 pm Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:[a,b]\to \mathbb{R}}$ . Οι $\displaystyle{f',g'}$ είναι συνεχείς, θετικές και αύξουσες.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (a,b)}$ , για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{f'(\xi )g'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot \frac{g(b)-g(a)}{b-a}.}$

Θα εξασθενήσω λίγο την υπόθεση.

Θα υποθέσω ότι οι f,g

είναι παραγωγίσημες στο (a,b)

.

Από δύο ΘΜΤ είναι $\displaystyle{f'(c )g'(d )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot \frac{g(b)-g(a)}{b-a}.}$

όπου $c,d\in (a,b)$

Αν $a<A<min(c,d)\leq max(c,d)<B<b$

τότε επειδή οι f',g'

είναι θετικές και αύξουσες θα έχουμε

$f'(A)g'(A)\leq f'(c)g'(d)\leq f'(B)g'(B)$

Το ΘΕΤ για την συνεχή f'g'

μας δίνει ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (a,b)}$ ώστε

$\displaystyle{f'(\xi )g'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot \frac{g(b)-g(a)}{b-a}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Να σημειώσω το εξής.

Η υπόθεση ότι οι παράγωγοι είναι συνεχείς δεν χρειάζεται.

Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μονότονη τότε είναι συνεχής.

Γιατί αφού είναι μονότονη τα πλευρικά όρια σε κάθε σημείο υπάρχουν.
Λόγω της ιδιότητας Darboux που έχει η παράγωγος οφείλουν να είναι ίσα
και λόγω μονοτονίας να συμπίπτουν με την τιμή της συνάρτησης

Σαν Θεώρημα Μέσης Τιμής!

Σαν Θεώρημα Μέσης Τιμής!

Re: Σαν Θεώρημα Μέσης Τιμής!

Re: Σαν Θεώρημα Μέσης Τιμής!

Μέλη σε σύνδεση