ανισότητα

#1

$\displaystyle{ABCD}$ κυρτό τετράπλευρο εγγεγαμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,r=1)}$ Aν $\displaystyle{(AB)(BC)(CD)(DA)\ge 4}$ να δείξετε ότι το $\displaystyle{ABCD}$ ειναι είναι τετράγωνο.

Filippos Athos · #2

R BORIS έγραψε: Τρί Φεβ 02, 2021 5:29 pm $\displaystyle{ABCD}$ κυρτό τετράπλευρο εγγεγαμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,r=1)}$ Aν $\displaystyle{(AB)(BC)(CD)(DA)\ge 4}$ να δείξετε ότι το $\displaystyle{ABCD}$ ειναι είναι τετράγωνο.

Απο Θ.Πτολεμαίου
$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\leq 2\cdot 2=4(1)$
επειδή οι χορδές είναι μικρότερες ή ίσες της διαμέτρου.

Αλλά έχουμε επίσης
$(AB)(BC)(CD)(DA)\geq 4$

Έστω x=(AB)(CD),y=(BC)(DA)

τότε $x+y\leq 4$ και
$xy\geq 4$

απο AM-GM

$4=2\cdot \sqrt{4}\leq 2\sqrt{xy}\leq x+y\leq 4$
δηλαδή ισχύει η ισότητα x=y

αρα από το (1)

οι διαγώνιοι είναι ίσες μς την διάμετρο οπότε το σχήμα είναι ορθογώνιο.
Οπότε ισχύει AB=CD,BC=DA

αρα
$(AB)(CD)=(BC)(DA)\Rightarrow (AB)^{2}=(BC)^{2}\Rightarrow AB=BC=CD=DA$

#3

Ευχαριστω για την λυση!
Μια αλλη λυση βρισκεται στο βιβλίο μου ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ σελιδες 406-407 στα αρχεία του

ή στον ΕΚΘΕΤΗ του Νικου Μαυρογιάννη(Jensen για την ln(ημχ...)

ανισότητα

ανισότητα

Re: ανισότητα

Re: ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση