Ἐνδιαφέρουσα ἀνισότης

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Ἔστω $x_1,\ldots,x_n>0$ , ὄχι ὅλοι ἴσοι, ὥστε $\sum_{i=1}^n x_n=1$ . Δείξατε ὅτι

$\displaystyle{ x_1^{x_1}\cdots x_n^{x_n}>\frac{1}{n}. }$

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 26, 2021 1:57 am
Ἔστω $x_1,\ldots,x_n>0$ , ὄχι ὅλοι ἴσοι, ὥστε $\sum_{i=1}^n x_n=1$ . Δείξατε ὅτι

$\displaystyle{ x_1^{x_1}\cdots x_n^{x_n}>\frac{1}{n}. }$

Επειδή η $f(x)=x\ln x,\,x>0$ είναι γνήσια κυρτή (έλεγχος: $f''(x)=\frac {1}{x} >0$ ) έχουμε (Jensen) $\displaystyle{\dfrac {1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) > f \left ( \dfrac {\sum_{i=1}^n x_i}{n} \right )}$ , εδώ

$\displaystyle{\dfrac {1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\ln x_i > \dfrac {\sum_{i=1}^n x_i}{n}\ln \dfrac {\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \dfrac {1}{n}\ln \dfrac {1}{n} }$

ισοδύναμα

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i\ln x_i > \ln \dfrac {1}{n} }$

Παίρνοντας εκθετικό, έπεται η ζητούμενη.

Ἐνδιαφέρουσα ἀνισότης

Ἐνδιαφέρουσα ἀνισότης

Re: Ἐνδιαφέρουσα ἀνισότης

Μέλη σε σύνδεση