Απλή εκδοχή του Δ4

KARKAR · #1

: Απλή εκδοχή του Δ4.png (16.39 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

Γράφω το θέμα στον φάκελο αυτό , όχι για τη δυσκολία του , αλλά για την πιθανότητα να υπάρξει

μια αντιμετώπιση ευκόλως κατανοητή από όλους .

Για την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{4}(x^3-x^2+4)$ .

α) Δείξτε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα στο (-2 , -1)

.

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που δημιουργείται από την γραφική παράσταση της

,

τον άξονα x'x

και τις ευθείες : x=-2

και :

.

Nikitas K. · #2

α)
Έστω $x_1,x_2\in\left(-\infty,0\right]$ με x_1<x_2

, προκύπτει ότι:

x_1^3<x_2^3

,
$x_1^2>x_2^2\Leftrightarrow -x_1^2<-x_2^2$
Με πρόσθεση κατά μέλη, συνεπάγεται ότι:
$x_1^3-x_1^2 < x_2^3 -x_2^3\Leftrightarrow x_1^3-x_1^2 + 4< x_2^3 -x_2^3 + 4$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x_1^3-x_1^2 + 4)< \frac{1}{4}(x_2^3 -x_2^3 + 4)\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Συνεπώς, η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\left(-\infty,0\right]$ , επομένως είναι ένα προς ένα στο ίδιο διάστημα.
Η συνάρτηση είναι συνεχής, εφόσον είναι πολυωνυμική.
Έχουμε ότι:
$f(-2) = \frac{1}{4} ((-2)^3 - (-2)^2 + 4) = \frac{1}{4} \cdot (-8)=-2$ και
$f(-1) = \frac{1}{4} ((-1)^3-(-1)^2+4)=\frac{1}{4}\cdot 2 = \frac{1}{2}$
Άρα f(-2)f(-1) < 0

, από το θεώρημα του Bolzano συνεπάγεται ότι
$\exists x_0\in\left(-2,-1\right)~f(x_0) = 0$ , όπου το x_0

στην προκειμένη είναι μοναδικό στο μη θετικό διάστημα, λόγω ότι η συνάρτηση

είναι ένα προς ένα στο διάστημα αυτό.

β)
Επειδή, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο μη θετικό διάστημα, ισχύει ότι:
$\forall x\in\left(-\infty,x_0\right)~f(x)<0$ και
$\forall x\in\left(x_0,0\right]~f(x)>0$

$\int_{-2}^{0} \left|f(x) \right |\,dx =\int_{-2}^{x_0} \left|f(x) \right |\,dx + \int_{x_0}^{0} \left|f(x) \right |\,dx$
$=\int_{-2}^{x_0} -f(x)\,dx + \int_{x_0}^{0} f(x) \,dx$
$=\int_{-2}^{x_0} -\frac{1}{4}(x^3-x^2+4)\,dx + \int_{x_0}^{0} \frac{1}{4}(x^3-x^2+4) \,dx$
$=\left[-\frac{1}{4} (\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+4x)\right]_{-2} ^{x_0}+\left[\frac{1}{4} (\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+4x)\right]_{x_0} ^{0}$

$A = -\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0) - [-\frac{1}{4} \left(\frac{(-2)^4}{4}-\frac{(-2)^3}{3}+4(-2)\right)]$
$= -\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0) + \frac{1}{4} (4+\frac{8}{3}-8)$
$=-\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0) + \frac{1}{4} (-4+\frac{8}{3})$
$=-\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0)-1+\frac{2}{3}$
$= -\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0)-\frac{1}{3}$

$B=\frac{1}{4} (\frac{0^4}{4}-\frac{0^3}{3}+4\cdot0)-\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0)$
$=-\frac{1}{4} (\frac{x_0^4}{4}-\frac{x_0^3}{3}+4x_0)$

Χρησιμοποιώντας ότι x_0^3 =x_0^2 - 4

και

από το γεγονός f(x_0)=0

προκύπτει ότι:
$\int_{-2}^{0} \left|f(x) \right |\,dx = A+B = (\frac{1}{24}x_0^2-\frac 3 2 x_0-\frac 1 2)$ τετραγωνικές μονάδες μήκους.

Απλή εκδοχή του Δ4

Απλή εκδοχή του Δ4

Re: Απλή εκδοχή του Δ4

Μέλη σε σύνδεση