Δωδεκαεδρικό δράμα

#1

Σε πρόσφατη διαδικτυακή συζήτηση στις "Γεωμετρικές Διαδρομές" του Σωτήρη Γκουντουβά (ΦΒ) τέθηκε το θέμα του λόγου υψών των δύο πενταγωνικών πυραμίδων που ορίζονται φυσικά από το κανονικό δωδεκάεδρο: στο συνημμένο εικονίζεται συνοπτικά η λύση μου, η οποία βεβαίως υπολογίζει το ύψος του δωδεκαέδρου

και την δίεδρο γωνία του $\theta$ . Ο υπολογισμός μου χρησιμοποίησε Νόμο Συνημιτόνων (δις) και γνωστές προσεγγίσεις για το απόστημα

και την ακτίνα περίκυκλου

κανονικού πενταγώνου, καταλήγοντας σε λόγο υψών περίπου 0,37

και δίεδρο γωνία $\theta \approx 117,4^0$ . Όπως δείχνω στο συνημμένο, σημαντικό ρόλο παίζει και η γωνία $\phi \approx 121,3^0$ , από την οποία και υπολογίζω την $\theta = 2\pi -2\phi$ : το συνημίτονο αυτής της γωνίας προκύπτει ως λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης, επακριβώς εάν χρησιμοποιηθούν οι ακριβείς λόγοι d/s

και

, όπου

η ακμή του δωδεκαέδρου (και πλευρά της πενταγωνικής έδρας του)^ πράγματι, χρησιμοποιώντας τις ακριβείς τιμές και επιλύοντας την δευτεροβάθμια του συνημμένου καταλήγω στην ακριβή τιμή

$\phi = arccos\displaystyle \dfrac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}-\sqrt{9-2\sqrt{5}+4\sqrt{6-2\sqrt{5}}}}{2\left(1+\sqrt{6-2\sqrt{5}}\right)},$

η οποία δίνει τις ακριβέστερες προσεγγίσεις $\phi \approx 121,7175^0$ και συνεπώς $\theta \approx 116,565^0$ (και λόγο υψών πυραμίδων περίπου 0,382

αντί

).

Φαντασθείτε τώρα την έκπληξη μου όταν είδα εδώ την ακριβή τιμή $\theta = \pi - arctan2$ (και συνεπαγόμενη ακριβή τιμή $\phi = \dfrac{\pi +arctan2}{2}$ ): δεν βλέπω προς το παρόν κάποιον δρόμο που να οδηγεί σ' αυτές τις τιμές!

: dodecahedron-height.png (74.81 KiB) Προβλήθηκε 1324 φορές

#2

gbaloglou έγραψε: Κυρ Μάιος 17, 2020 7:44 pm Φαντασθείτε τώρα την έκπληξη μου όταν είδα εδώ την ακριβή τιμή $\theta = \pi - arctan2$ (και συνεπαγόμενη ακριβή τιμή $\phi = \dfrac{\pi +arctan2}{2}$ ): δεν βλέπω προς το παρόν κάποιον δρόμο που να οδηγεί σ' αυτές τις τιμές!

Αν θέλουμε τώρα απλώς να επιβεβαιώσουμε την παραπάνω 'κομψή' έκφραση για την γωνία $\phi$ -- να την επιβεβαιώσουμε, όχι να φτάσουμε σ'αυτήν με κάποιον 'φυσιολογικό' τρόπο -- μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε, για οξεία γωνία

, τον τριγωνομετρικό τύπο

$sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{\dfrac{tanx}{\sqrt{1+tan^2x}}}{\sqrt{\dfrac{2(\sqrt{1+tan^2x}+1)}{\sqrt{1+tan^2x}}}},$

ο οποίος μάς δίνει, για x = arctan2

,

$cos\left(\dfrac{\pi +arctan2)}{2}\right)=-sin\left(\dfrac{arctan2}{2}\right)=-\dfrac{2}{\sqrt[4]{5}\sqrt{2(\sqrt{5}+1)}},$

οπότε 'αρκεί' να επαληθευθεί η αλγεβρική ισότητα

$-\dfrac{2}{\sqrt[4]{5}\sqrt{2(\sqrt{5}+1)}}=\dfrac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}-\sqrt{9-2\sqrt{5}+4\sqrt{6-2\sqrt{5}}}}{2\left(1+\sqrt{6-2\sqrt{5}}\right)}$

#3

Τετάρτη 20-5-2020 8 πμ: Διέγραψα την 'φλύαρη' δημοσίευση μου -- ίχνη της επιζούν στην επόμενη, που την υπερκαλύπτει -- επειδή παρουσίαζε μία αχρείαστα μπλεγμένη λύση που τίποτα δεν προσφέρει.

#4

gbaloglou έγραψε: Τρί Μάιος 19, 2020 12:10 am Λύση στο δράμα ... ως από μηχανής θεός ... δίνει ο Ευκλείδης με την γνωστή κατασκευή του δωδεκαέδρου από τον κύβο: υψώνουμε σε κάθε έδρα ενός μοναδιαίου κύβου 'αντίσκηνα' συμμετρικά και ίσα μεταξύ τους (με ύψος οροφής και μήκος οροφής ), 'ορθογώνια' πάντοτε προς το κάθε γειτονικό τους αντίσκηνο (βλέπε συνημμένο): από συνευθειακότητα και $\eta +\gamma = \pi /2$ προκύπτει η $tan\eta \cdot tan\gamma =1$ και η , ενώ η ισότητα ακμών δίνει $h^2+\left(\dfrac{1-d}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=d^2$ , οπότε καταλήγουμε στην (που προσδιορίζει και το μήκος της ακμής του δωδεκαέδρου ως $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ , αν και δεν θα το χρειαστούμε αυτό).

Τα παραπάνω επαρκούν για μια απλή απόδειξη της $tan(\pi-\theta)=2$ : αναφερόμενος στο συνημμένο, παρατηρώ ότι

$tan(\pi -\theta )=tan(2\eta )=\dfrac{2\cdot tan\eta }{1-(tan\eta )^2}=\dfrac{2\cdot 2h}{1-(2h)^2}=\dfrac{4h}{1-4h^2}=\dfrac{4h}{d},$

οπότε αρκεί να δειχθεί η ανεξαρτήτου ενδιαφέροντος (και αναπάντεχα απλή ίσως) d=2h

.

Χρησιμοποιώντας ξανά την 4h^2=1-d

, αλλά και την d^2+d-1=0

, καταλήγουμε στην 16h^4-12h^2+1=0

, ισοδύναμη προς την (1-4h^2)^2=(2h)^2

, που άμεσα δίνει d^2=(2h)^2

και

.

(Εναλλακτικά $2h=\sqrt{1-d}$ , οπότε $d=2h\leftrightarrow d=\sqrt{1-d}\leftrightarrow d^2+d-1=0$ .)

: EUCLID-XIII.17.png (47.09 KiB) Προβλήθηκε 1165 φορές

#5

ΕΔΩ ένας ακόμη υπολογισμός της διέδρου γωνίας $\theta$ ως $arccos(-1/\sqrt{5})$ , που εύκολα βλέπουμε ότι όντως ισούται προς $\pi-arctan2$ .

(Ο υπολογισμός βασίζεται πάντως σε έναν 'γενικό' τύπο (9.1) για δίεδρες γωνίες που δεν γνωρίζω -- προτιμώ την Ευκλείδεια οδό της προηγούμενης δημοσίευσης!)

Δωδεκαεδρικό δράμα

Δωδεκαεδρικό δράμα

Re: Δωδεκαεδρικό δράμα

Re: Δωδεκαεδρικό δράμα

Re: Δωδεκαεδρικό δράμα

Re: Δωδεκαεδρικό δράμα

Μέλη σε σύνδεση