Μέγιστος - ελάχιστος εγγεγραμμένος κύκλος

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Δίνεται τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές μήκους
Έστω η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Να προσδιοριστεί το infimum και το supremum της

[george visvikis]

Δίνεται τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές μήκους
Έστω η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Να προσδιοριστεί το infimum και το supremum της

Επειδή το είναι περιγεγραμμένο, το εμβαδόν του είναι Η ακτίνα μεγιστοποιείται όταν και

το εμβαδόν γίνει μέγιστο, όταν δηλαδή καταστεί εγγράψιμο. Τότε,

Άρα, (Σχ.1)

sup-inf.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 1513 φορές

Το δεν έχει ελάχιστη τιμή. Έχει όμως μέγιστο κάτω φράγμα όταν το εκφυλιστεί σε τρίγωνο. Εύκολα

διαπιστώνουμε ότι αυτό συμβαίνει όταν Σχ.2 Τότε,

Άρα,

[coreprice]

Αφού 1+4 = 2+3, το τετράπλευρο μπορεί να έχει εγγεγραμμένο κύκλο. Το infimum του είναι 0 (όταν το τετράπλευρο γίνεται εκφυλισμένο), ενώ το supremum είναι , όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο κυκλικό.

[αρψ2400]

Αφού 1+4 = 2+3, το τετράπλευρο μπορεί να έχει εγγεγραμμένο κύκλο. Το infimum του είναι 0 (όταν το τετράπλευρο γίνεται εκφυλισμένο), ενώ το supremum είναι , όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο κυκλικό.

Από τον τύπο Bretschneider για το εμβαδόν 𝐾 γενικού τετραπλεύρου:



Η μέγιστη περίπτωση είναι σαφώς αυτή του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με άθροισμα των απέναντι 180 και ημίτονο στις 90 ίσο με ένα.Η ελάχιστη τιμή για το άθροισμα των απέναντι γωνιών ( ή μέγιστη για το άλλο ζεύγος αφού έχουμε άθροισμα 360 ) είναι ο εκφυλισμός σε τρίγωνο με πλευρές 3 ,3 ,4 ή 4,4,2 , με ελάχιστο εγγεγραμμένο αυτόν στο 4,4,2 που ανέφερε και ο κύριος george visvikis.Τώρα υπάρχει και μία ασυνεχής περίπτωση που οι πλευρές κλείνουν και δεν επιτρέπουν σε κυκλικό δίσκο να περάσει ανάμεσά τους.Ο κύκλος έχει ακτίνα μηδέν και βρίσκεται στο σημείο Ζ
''εφαπτόμενος στα 4 τμήματα όταν το Γ πάει στο Ζ και το Δ στο Η. Στην πραγματικότητα κάθε τετράπλευρο που μπορεί να έχει εγγεγραμμένο κύκλο (με ιδιο άθροισμα των απέναντι πλευρών), μπορεί να κλείσει ώστε να μην επιτρέπει σε μπάλα όσο μικρή και να είναι να περάσει ανάμεσα του.Ένα ερώτημα είναι ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη μπάλα που μπορεί να περάσει ανάμεσα σε τετράπλευρο που δεν είναι περιγράψιμο σε κύκλο.Στο 10 , 9, 8 ,7 για παράδειγμα.Λέω ασυνεχή την περίπτωση με r=0 , γιατί στις ενδιάμεσες περιπτώσεις , που από τα τρίγωνα περνάμε στα μη κυρτά τετράπλευρα ,δεν υπάρχει εγγεγραμμένος κύκλος σε όλες τις πλευρές παρά μόνο στις προεκτάσεις σε δύο εξ αυτών .Δηλαδή ο εν λόγω κύκλος δεν είναι ο μέγιστος κύκλος στο εσωτερικό του μη κυρτού τετραπλεύρου.