Ούτε είκοσι

KARKAR · #1

: Ούτε είκοσι.png (17.96 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

Με το σημείο

χωρίσαμε το τμήμα

σε μέρη : AS=4

και

. Με διαμέτρους τις AS , SB

γράψαμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο ημικύκλια , επί των οποίων κινούνται σημεία P , T

. Μπορούμε άραγε

να υπολογίσουμε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου APTB

;

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 20, 2026 11:32 am Ούτε είκοσι.pngΜε το σημείο χωρίσαμε το τμήμα σε μέρη : και . Με διαμέτρους τις

γράψαμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο ημικύκλια , επί των οποίων κινούνται σημεία . Μπορούμε άραγε

να υπολογίσουμε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ;

.

: ούτε 20.png (23.31 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές

.
Επειδή η άσκηση είναι στον φάκελο των Καθηγητών, ίσως τα παρακάτω είναι επιτρεπτά:

Έστω ότι οι προβολές $C,\,D$ των $P,\,T$ απέχουν από τα κέντρα των αντίστοιχων ημικυκλίων αποστάσεις $x,\,y$ . Είναι τότε h^2=PC= (2-x)(2+x)

και

. Επίσης

$(APTB)=(APC)+(CPTD)+(DTB)= \dfrac {1}{2}h(2-x)+\dfrac {1}{2}(h+k)[(2+x)+(3+y)] + \dfrac {1}{2}k(3-y)=$

$= \dfrac {1}{2} h(7+y) + \dfrac {1}{2}k(8+x) = \dfrac {1}{2} \sqrt {4-x^2}(7+y) + \dfrac {1}{2}\sqrt {9-y^2}(8+x)$

Θα εργαστούμε με αυτή την παράσταση ως συνάρτηση δύο μεταβλητών, ας την ονομάσουμε f(x,y)

στο $(0,2)\times (0,3)$ . Για (ολικό) μέγιστο έχουμε με μερικές παραγώγους (**)

$\dfrac {\partial f}{\partial x} = - \dfrac {x}{\sqrt {4-x^2}}(7+y)+\sqrt {9-y^2} =0$ και $\dfrac {\partial f}{\partial y} = - \sqrt {4-x^2}- \dfrac {y}{\sqrt {9-y^2}}(8+x) =0$

Γράφονται $\sqrt {4-x^2}\sqrt {9-y^2} = x(7+y)$ και $\sqrt {4-x^2}\sqrt {9-y^2} = y(8+x)$ . (*)

Επειδή τα αριστερά μέλη είναι ίσα, θα είναι και τα δεξιά, οπότε x(7+y)=y(8+x)

, οπότε $\boxed {y = \dfrac {7}{8}x}$ .

Επίσης πολλαπλάσιάζοντας κατά μέλη τις (*)

, έχουμε

$\boxed { (4-x^2)(9-y^2)= xy(7+y)(8+x)}$

Θέτοντας σε αυτήν $y = \dfrac {7}{8}x$ βγαίνει μία πολυωνυμική εξίσωση με άγνωστο μόνο το

(τεταρτοβάθμια). Για λόγους οικονομίας την έλυσα με λογισμικό. Βγαίνει $x \approx 0,7127, \, y \approx 0,6236$ από όπου το ζητούμενο μέγιστο είναι $(APTB)_{max} \approx 19,955$ , παρατρίχα

, όπως δηλώνει ο τίτλος.

(**) Προσπάθησα να βρω το μέγιστο με στοιχειώδη μέσα αλλά είτε η πορεία μου δεν τελεσφότησε ή οι πράξεις ήταν πολλές. Θα χαρώ να δω στοιχειώδη τρόπο.

Ούτε είκοσι

Ούτε είκοσι

Re: Ούτε είκοσι

Μέλη σε σύνδεση