Καθοριστικός και..βαρύνων λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα σε όλους!
Από την μελέτη παλαιότερου θέματος έφτασα στο παρόν με τα ακόλουθα τρία ζητούμενα.
Στην διάθεση όλων για τον έλεγχο της ορθότητας καθενός από αυτά.

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

. Το $M \in AB$ και το $N \in AC$ ώστε να ισχύει

AM/MB= NC/AN=m

.
Οι

τέμνονται στο

.
Ι) Να εξεταστεί αν ισχύει :

(AMHN)=(BHC)

ΙΙ) Αν επιπλέον είναι : τότε να εξεταστεί αν ισχύει $m(BAC)= (m^2+m+1)(AMHN)$ και
ΙΙΙ) Αν ισχύουν όλα τα παραπάνω κι ακόμη η σχέση:

(AMHN)=(BHM) +(NHC)

τότε:
Χαρακτηρίστε την τομή των .. Επιτρέπεται και μια..

.. βαριά κουβέντα.

Σας ευχαριστώ εκ' των προτέρων, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Αύγ 13, 2026 2:08 am Θεωρούμε τρίγωνο . Το $M \in AB$ και το $N \in AC$ ώστε να ισχύει $AM/MB= NC/AN=m$ .
Οι τέμνονται στο .
Ι) Να εξεταστεί αν ισχύει : $(AMHN)=(BHC)$

: Καθορ.png (18.57 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές

.
Aς δούμε γιατί ισχύει το πρώτο, που είναι απλό: Ισοδύναμα θέλουμε να δείξουμε ότι

(ABN)=(BMC)

. Όμως αφού

\dfrac {NC}{AN}=m

έχουμε

AN= \dfrac {1}{m+1}AC

και άρα

(ABN)= \dfrac {1}{m+1}(ABC)

. 'Ομοια

(BMC)= \dfrac {1}{m+1}(ABC)

, από όπου η ζητούμενη ισότητα.

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Αύγ 13, 2026 2:08 am ΙΙ) Αν επιπλέον είναι : τότε να εξεταστεί αν ισχύει $m(BAC)= (m^2+m+1)(AMHN)$

.
Επιβεβαιώνω ότι ισχύει, άσχετα αν AB=AC

ή όχι.

Θα επανέλθω για την απόδειξη. Για την ώρα αναφέρω ότι το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση του

(BMH)

, που με την σειρά του ανάγεται στην εύρεση του

MH:HC

, το οποίο βγαίνει από Μενέλαο στο AMC

.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Αύγ 13, 2026 2:08 am
Θεωρούμε τρίγωνο . Το $M \in AB$ και το $N \in AC$ ώστε να ισχύει $AM/MB= NC/AN=m$ .
Οι τέμνονται στο .
Ι) Να εξεταστεί αν ισχύει : $(AMHN)=(BHC)$
ΙΙ) Αν επιπλέον είναι : τότε να εξεταστεί αν ισχύει $m(BAC)= (m^2+m+1)(AMHN)$ και
ΙΙΙ) Αν ισχύουν όλα τα παραπάνω κι ακόμη η σχέση: $(AMHN)=(BHM) +(NHC)$ τότε:
Χαρακτηρίστε την τομή των .. Επιτρέπεται και μια.. .. βαριά κουβέντα.

: Καθορ 2.png (21.97 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

.
Συνέχεια, για το ii), όπως υποσχέθηκα.

Δεν θα χρησιμοποιήσω την υπόθεση AB=AC

.

Από Μενέλαο στο AMC

με διατέμνουσα την

έχουμε

\dfrac {CN}{NA}\dfrac {AB}{BM}\dfrac {MH}{HC}=1

, ισοδύναμα

\dfrac {m}{1}\dfrac {m+1}{1}\dfrac {x}{y}=1

.

Άρα

\dfrac {x}{y}= \dfrac {1}{m^2+m}

, οπότε και

\dfrac {MH}{MC}=\dfrac {x}{x+y}= \dfrac {1}{m^2+m+1}

.

Άρα

(BMH) = \dfrac {MH}{MC} (BMC)= \dfrac {1}{m^2+m+1} (BMC)= \dfrac {1}{m^2+m+1} \dfrac {1}{m+1} (ABC)

(*)

Έπεται

(AMHN)= (BAN)-(BMH)=^{(*)} \dfrac {1}{m+1} (ABC)- \dfrac {1}{m^2+m+1} \dfrac {1}{m+1} (ABC)= \dfrac {m}{m^2+m+1}(ABC)

, όπως θέλαμε.

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Αύγ 13, 2026 2:08 am
Θεωρούμε τρίγωνο . Το $M \in AB$ και το $N \in AC$ ώστε να ισχύει $AM/MB= NC/AN=m$ .
Οι τέμνονται στο .
Ι) Να εξεταστεί αν ισχύει : $(AMHN)=(BHC)$
ΙΙ) Αν επιπλέον είναι : τότε να εξεταστεί αν ισχύει $m(BAC)= (m^2+m+1)(AMHN)$ και
ΙΙΙ) Αν ισχύουν όλα τα παραπάνω κι ακόμη η σχέση: $(AMHN)=(BHM) +(NHC)$ τότε:
Χαρακτηρίστε την τομή των .. Επιτρέπεται και μια.. .. βαριά κουβέντα.

.
Συνέχεια, για το iii).

Ήδη ξέρουμε ότι

(AMHN)= \dfrac {m}{m^2+m+1}(ABC)

και

(BMH) = \dfrac {1}{(m^2+m+1)(m+1)} (ABC)

(*)

Όμοια, αφού το

χωρίζει το

σε λόγο

1:m

, ισοδύναμα

\dfrac {1}{m} :1

οπότε όπως στην (*) με

\dfrac {1}{m}

στην θέση του

, έχουμε

(NHC) = \dfrac {1}{\left (\dfrac {1}{m^2}+\dfrac {1}{m}+1\right ) \left ( \dfrac {1}{m}+1\right )} (ABC) =\dfrac {m^3}{(m^2+m+1)(m+1)} (ABC)

H

(AMHN)=(BHM) +(NHC)

γίνεται

\dfrac {m}{m^2+m+1}(ABC)= \dfrac {m^3+1}{(m^2+m+1)(m+1)} (ABC)

, ισοδύναμα

m(m+1)= m^3+1

. Άρα

(m-1)^2(m+1)=0

, και συνεπώς m=1

.

Με άλλα λόγια τα M,N

χωρίζουν της πλευρές σε λόγο 1:1

, δηλαδή οι BN, CM

είναι διάμεσοι.

Συνοψίζοντας, το

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου, που απαντά στο ερώτημα της άσκησης.

Γιώργος Μήτσιος · #6

Χαιρετώ!
Ένα μεγάλο ευχαριστώ Μιχάλη για την κάλυψη όλων των ερωτημάτων!
Πράγματι η σχέση AB=AC

δεν είναι αναγκαία για κανένα ζητούμενο.
Λίγο διαφορετική απόδειξη για το τρίτο ζητούμενο.
Έχει αποδειχθεί (απλό, αλλά και χρήσιμο) ότι

(AMHN)=(BHC)

, ενώ

(BAC)/(AMHN)=1+m+1/m

με ελάχιστη τιμή του λόγου αυτού το

Επομένως μέγιστη τιμή για το

(AMHN)

όπως και για το (BHC)

είναι
το

(ABC)/3

, ενώ για το

(BHM)+(NHC)

αυτό είναι η ελάχιστη τιμή.
Επίτηδες δίνεται η ισότητα που υποχρεώνει το m=1

.Τότε οι

είναι διάμεσοι και το

βαρύκεντρο του τριγώνου.
Φιλικά, Γιώργος.

Καθοριστικός και..βαρύνων λόγος

Καθοριστικός και..βαρύνων λόγος

Re: Καθοριστικός και..βαρύνων λόγος

Re: Καθοριστικός και..βαρύνων λόγος

Re: Καθοριστικός και..βαρύνων λόγος

Re: Καθοριστικός και..βαρύνων λόγος

Re: Καθοριστικός και..βαρύνων λόγος

Μέλη σε σύνδεση