Απροσδιόριστες καμπύλες

[george visvikis]

Απροσδιόριστος γεωμετρικός τόπος.png (26.06 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Ο εγγεγραμμένος κύκλος ισοπλεύρου τριγώνου εφάπτεται των στα αντίστοιχα. Σημείο κινείται

στο μικρό τόξο και η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τα τμήματα στα αντίστοιχα. Οι κύκλοι

και τέμνονται στα Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων


Δεν έχω λύση (Το geogebra δίνει την μπλε καμπύλη για το και την κόκκινη για το ).

[KR21]

Θα περιγράψω τα βήματα της λύσης μέσω Αναλυτικής Γεωμετρίας

Μπορείς να το κάνεις στο Geogebra αλλά δεν θα βρεις τις εξισώσεις των συντεταγμένων των αλλά απλά διαφορες τιμές τους.
Επίσης θα υπάρχει λογικά πιο γρήγορη λύση με Ευκλείδια γεωμετρία, βρίσκοντας κάτι που δεν αλλάζει όσο το κινείται (αυτό μπορεί να είναι μια ιδιότητα, ένα μήκος , μια γωνιά ) πχ η μεσοκάθετος ενος ευθύγραμμου τμήματος είναι ένας γεωμετρικός τόπος , με την εξής ιδιότητα τα σημεία της να ισαπέχουν από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος.

Θες να βρεις σημεία τομής δύο κύκλων.

Αρχικά τοποθετείς το σύστημα συντεταγμένων σου κάπου στο σχήμα, καλύτερα στο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και επίσης φροντίζεις ο άξονας να τέμνει το τρίγωνο στο . Αυτό για ευκολία στις πράξεις που ακολουθούν.

Επομένως ο εγγεγραμμένος κύκλος θα έχει κέντρο το και εξίσωση όπου η ακτίνα του η οποία είναι το μισό της διαμέσου-υψους-διχοτομου του ισόπλευρου τριγωνου.

Αυτά που "γνωρίζεις" ή μπορείς να βρεις εάν ξέρεις το μήκος πλευράς του ισόπλευρου, είναι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου από αυτά καθορίζονται όλα τα αλλα σημεία του σχήματος άρα και τα .

Έπειτα εφόσον θες να βρεις τομές κύκλων.

Πρέπει να λύσεις το σύστημα 2 εξισώσεων των δύο κύκλων αυτο θα σου δώσει δύο ζεύγη συντεταγμένων που θα είναι οι συντεταγμένες των σημείων .

Γράψε τις εξισώσεις των κύκλων στην γενική μορφή .
Δηλαδή






Όπου τα κινούμενα κέντρα του κάθε κύκλου και και και οι μεταβαλλόμενες ακτίνες τους.

Η λύση είναι λίγο επίπονη ανάλυσε τα τετράγωνα και αφαίρεσε κατά μέλη τις δύο σχέσεις για να φύγουν τα και και λύσε ως προς x και μετά αντικατέστησε σε μια από τις εξισώσεις και βρες το έπειτα αντικατέστησε και βρες το

Άμα το κάνεις αυτό θα έχεις βρει δύο ζεύγη συντεταγμένων και των σημείων ως συνάρτηση των .

Αυτό που θες είναι, να εκφράσεις τα ως συνάρτηση αυτών που γνωρίζεις δηλαδή των κορυφών του τριγώνου και των συντεταγμένων του .

Για τα κέντρα ξέρεις ότι βρίσκονται στην εφαπτομένη του εγγεγραμμένου κύκλου.

Μάλιστα είναι οι τομές της εφαπτομένης αυτής με τις πλευρές του τριγώνου . Οπότε πρέπει να κάνεις δυο πράγματα

Πρώτον να βρεις την εξίσωση εφαπτομένης ευθειας σε κύκλο εξίσωσης .

Αυτή εμπεριέχει τις συντεταγμένες του σημείου στο οποίο εφάπτεται η ευθεία, δηλαδή του .

Δεύτερον να βρεις τις εξισώσεις ευθειών και αυτές θα εμπεριέχουν τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου .

(Έχοντας δύο σημεία μια ευθειας μπορείς να βρεις την εξίσωση της)

Τώρα παιρνεις και λύνεις δύο ζεύγη εξισώσεων της ευθείας με αυτην της εφαπτομένη του εγγεγραμμένου κύκλου.

Αυτό για να βρεις το σημείο συναρτήσει των συντ. των σημείων και

Και της ευθείας με αυτήν της εφαπτομένης του εγγ. κύκλου για να βρεις τις συντεταγμένες του συνάρτηση των συντεταγμένων των σημείων και .

Μετά από αυτό έχεις βρει τα κέντρα των κύκλων και συνάρτησει αυτών που γνωρίζεις.

Τώρα το μόνο που μένει είναι οι ακτίνες και .

Αυτές είναι εύκολο να τις βρεις καθώς είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων ( διότι ο περνά από το ) και
Και των σημείων και αντίστοιχα.

Ο τύπος για την απόσταση μεταξυ των 2 σημείων που γνωρίζεις τις συντεταγμένες τους είναι

.

Όμοια και για το .

Επομένως αντικαθιστώντας τα στις συντεταγμένες των σημείων και έχεις βρει τα σημεία του γεωμετρικού τόπου συνάρτησει των μεταβλητών που θες.