Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Με τα σημεία K , L

τριχοτομήσαμε μια χορδή

, παράλληλη προς την διάμετρο AOB

ενός ημικυκλίου . Η

τέμνει το τόξο στο σημείο

και η

στο

. Μπορούμε άραγε

να κατασκευάσουμε την

σε τέτοια θέση , ώστε το

να είναι το μέσο της χορδής

;

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 23, 2024 1:03 pm Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση.pngΜε τα σημεία τριχοτομήσαμε μια χορδή , παράλληλη προς την διάμετρο

ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το τόξο στο σημείο και η στο . Μπορούμε άραγε

να κατασκευάσουμε την σε τέτοια θέση , ώστε το να είναι το μέσο της χορδής ;

: Από τριχ σε διχ.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Έστω ότι βρισκόμαστε στον τυπικό κύκλο x^2+y^2=1

Θέτουμε $D(\cos\varphi,\sin\varphi)$
οπότε $L(\dfrac{1}{3}\cos\varphi,\sin\varphi) \wedge K(-\dfrac{1}{3}\cos\varphi,\sin\varphi)$

$\overrightarrow{OS}=t\cdot \overrightarrow{OK}\Rightarrow$ $t=\dfrac{3}{\sqrt{1+8\sin^2\varphi}}$ (1)

$\overrightarrow{SL}=(\dfrac{1+t}{3}\cdot\cos\varphi,(1-t)\cdot\sin\varphi)$

$\overrightarrow{SL}\cdot \overrightarrow{OL}=0\Rightarrow ... \Rightarrow t=-\dfrac{1+8\sin^2\varphi}{1-10\sin^2\varphi}$ (2)

Θέτοντας $a=\sqrt{1+8\sin^2\varphi}\Rightarrow \sin^2\varphi=\dfrac{a^2-1}{8}$ $\Rightarrow 1\le a\le 3$
(1,2) $\Rightarrow ...$ $\Rightarrow 4a^3-15a^2+27=0$
Η τελευταία έχει τρεις πραγματικές λύσεις, μια αρνητική, την a=3

που είναι τετριμμένη και τη μόνη που παρουσιάζει ενδιαφέρον
$a=\dfrac{3}{8}(1+\sqrt{17})$
οπότε βρίσκουμε $\varphi=\arcsin(\dfrac{\sqrt{49+9\sqrt{17}}}{16})\approx 35.45^o$ $\blacksquare$

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 23, 2024 1:03 pm Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση.pngΜε τα σημεία τριχοτομήσαμε μια χορδή , παράλληλη προς την διάμετρο

ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το τόξο στο σημείο και η στο . Μπορούμε άραγε

να κατασκευάσουμε την σε τέτοια θέση , ώστε το να είναι το μέσο της χορδής ;

Με τους συμβολισμούς του σχήματος, δύναμη σημείου και Πυθαγόρειο βρίσκω:

$\displaystyle {y^2} = 2{x^2}$ και $\displaystyle {y^2} = {R^2} - {a^2},{x^2} = \frac{{{R^2} - {a^2}}}{2}$

: Διχ-Τριχ.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

Με $\rm Stewart$ στο SLO

και αντικαθιστώντας τις παραπάνω ισότητες έχω:

$\displaystyle ({R^2} - {a^2})a + {a^2}(R - a) = R\frac{{{R^2} - {a^2}}}{2} + aR(R - a) \Leftrightarrow$ $\boxed{4{a^3} - 5{a^2}R + {R^3} = 0}$

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\displaystyle a = \frac{R}{8}\left( {1 + \sqrt {17} } \right).$ Εύκολα στη συνέχεια βρίσκω $\boxed{CD = \frac{{3R}}{8}\sqrt {23 - \sqrt {17} } }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 23, 2024 1:03 pm Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση.pngΜε τα σημεία τριχοτομήσαμε μια χορδή , παράλληλη προς την διάμετρο

ενός ημικυκλίου . Η τέμνει το τόξο στο σημείο και η στο . Μπορούμε άραγε

να κατασκευάσουμε την σε τέτοια θέση , ώστε το να είναι το μέσο της χορδής ;

είναι παραλ/μμο με κάθετες διαγωνίους ,άρα ρόμβος οπότε SQDO

ισοσκελές τραπέζιο

Επομένως με Πτολεμαίο παίρνουμε $R^2+Rx=(2x)^2 \Rightarrow 4x^2-Rx-R^2=0 \Rightarrow x= \dfrac{R}{8}(1+ \sqrt{7})$

Τώρα με βάση τις ισότητες R^2-x^2=m^2=2y^2

, $OM^2=R^2-\dfrac{9y^2}{4}$ παίρνουμε $OM= \dfrac{R}{16} \sqrt{49+9 \sqrt{17} }$

Θεωρούμε τον κύκλο (O,OM)

που η κάθετη στην

στο

τέμνει στο

Η εφαπτόμενη στο

τέμνει το ημικύκλιο στα ζητούμενα σημεία C,D

: από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση.png (35.78 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση

Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση

Re: Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση

Re: Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση

Re: Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση

Re: Από τριχοτόμηση σε διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση