Πες μου έναν λόγο

KARKAR · #1

: Πες μου έναν λόγο .png (10.25 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με κάθετες πλευρές τις b , c

, εγγράφουμε τα όμοια ορθογώνια : ADEZ

και :

.

Βρείτε την θέση του

( δηλαδή τον λόγο : $\dfrac{x}{c}$ ) , για την οποία μεγιστοποιείται το άθροισμα : (ADEZ)+(DKLN)

.

Εξετάστε αν αληθεύει η - ασφαλώς εντυπωσιακή - εικασία , ότι το

είναι ανεξάρτητο του

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 08, 2024 10:36 am Πες μου έναν λόγο .pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές τις , εγγράφουμε τα όμοια ορθογώνια : και : .

Βρείτε την θέση του ( δηλαδή τον λόγο : $\dfrac{x}{c}$ ) , για την οποία μεγιστοποιείται το άθροισμα : .

Εξετάστε αν αληθεύει η - ασφαλώς εντυπωσιακή - εικασία , ότι το είναι ανεξάρτητο του

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων και κάποιων τριγώνων βρίσκω:

$\displaystyle AZ = \frac{{b(c - x)}}{c},DK = \frac{{x(c - x)}}{c},LK = \frac{{b{{(c - x)}^2}}}{{{c^2}}}$

: Πες μου ένα λόγο.png (7.15 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

Το ζητούμενο άθροισμα εμβαδών είναι $\displaystyle E(x) = \frac{{bx(c - x)}}{c} + \frac{{bx{{(c - x)}^3}}}{{{c^3}}}$ και για $t=\dfrac{x}{c},$

$\displaystyle E(t) = bct(1 - t)({t^{2}} - 2t + 2),$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων προκύπτει ότι έχουμε μέγιστο όταν

4t^3-9t^2+8t-2=0

και με τη χρήση λογισμικού $\boxed{\frac{x}{c} = t \simeq 0,39417}$ Το

είναι λοιπόν ανεξάρτητο του

Πες μου έναν λόγο

Πες μου έναν λόγο

Re: Πες μου έναν λόγο

Μέλη σε σύνδεση