Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα

KARKAR · #1

: Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές

Στην διχοτόμο της γωνίας $\widehat{xOy}$ βρίσκονται σημεία A , B

. Θέλουμε να βρούμε σημεία S , T

των πλευρών Ox , Oy

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $BS \parallel TA$ και : (OBS)=(OTA)

. Ας λυθεί πρώτα το πρόβλημα στην περίπτωση

που η

είναι ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας και τα σημεία της διχοτόμου , είναι τα : A(4,2)

και :

.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 05, 2025 4:20 am Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα.pngΣτην διχοτόμο της γωνίας $\widehat{xOy}$ βρίσκονται σημεία . Θέλουμε να βρούμε σημεία των πλευρών

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $BS \parallel TA$ και : . Ας λυθεί πρώτα το πρόβλημα στην περίπτωση

που η είναι ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας και τα σημεία της διχοτόμου , είναι τα : και : .

Για την απλή περίπτωση A(4,2)

και :

. Εύκολα βρίσκω $AB: y=\dfrac{1}{2}x, OT: y=\dfrac{4}{3}x.$

Θέτω $\displaystyle S(s,0),T\left( {t,\frac{{4t}}{3}} \right)$ και έχω:

: Ισεμβαδικότητα.K.png (11.61 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές

$\displaystyle BS//TA \Leftrightarrow \frac{3}{{6 - s}} = \frac{{4t - 6}}{{3(t - 4)}}$ και $\displaystyle (OBS) = (OTA) \Leftrightarrow |\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 6&3 \\ s&0 \end{array}} \right|| = |\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2 \\ t&{\dfrac{{4t}}{3}} \end{array}} \right||,$

απ' όπου λύνοντας το σύστημα βρίσκω $\boxed{S\left( {\frac{{65}}{{12}},0} \right)}$ και $\boxed{T\left( {\frac{{39}}{8},\frac{{13}}{2}} \right)}$

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 05, 2025 4:20 am Στην διχοτόμο της γωνίας $\widehat{xOy}$ βρίσκονται σημεία . Θέλουμε να βρούμε σημεία των πλευρών

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $BS \parallel TA$ και : . Ας λυθεί πρώτα το πρόβλημα στην περίπτωση

που η είναι ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας και τα σημεία της διχοτόμου , είναι τα : και : .

.
Γεωμετρικά το γενικό:

Παίρνουμε $OA'=OA=a, \, OB'=OB=b$ . Απίσης χωρίζουμε το

με σημείο

έτσι ώστε

και φέρνουμε διαμέσου του

την

παράλληλη της B'A'

. Θα δείξουμε ότι τα T,S

είναι τα ζητούμενα. Πράγματι, από το Θεώρημα της διχοτόμου και το Θεώρημα του Θαλή, έχουμε

$\dfrac {OT}{OS}=\dfrac {OB'}{OA'}= \dfrac {b}{a}$ , άρα

$\dfrac {(OTA)}{(OSB)}= \dfrac {OT\cdot OA}{OS\cdot OB}= \dfrac {OT}{OS}\cdot \dfrac {a}{b}=1$ , όπως θέλαμε.

Μένει η παραλληλία AC//SB

. Έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {TC}{CS}= \dfrac {B'C'}{C'A}= \dfrac {OB'}{OA'}= \dfrac {b}{a}= \dfrac {AC}{CB}}$ , που σημαίνει ότι τα τρίγωνα $ACT, \, BCS$ είναι όμοια γιατί έχουν δύο ζεύγη πλευρών τους ανάλογα και ίσες τις περιεχόμενες γωνίες. Έπεται η ζητούμενη παραλληλία.
.

KARKAR · #5

Μιχάλη , είναι μια λύση για άφθονα

Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα

Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα

Re: Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα

Re: Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα

Re: Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα

Re: Ανεπανάληπτη ισεμβαδικότητα

Μέλη σε σύνδεση