Διοφαντική εξίσωση

bouzoukman · #1

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για την εξίσωση x^4 - 2y^4=1

με $y\neq 0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

bouzoukman έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 10:27 pm
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για την εξίσωση με $y\neq 0$ .

Γράφεται $x^{4}-1=2y^{4}$

Ετσι ο x=2k+1

και επειδή $y\neq 0$ είναι k>0

επειδή

$x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1)$

γράφεται

$4k(k+1)(2k(k+1)+1)=y^{4}$

Ετσι y=2t

και γράφεται

$k(k+1)(2k(k+1)+1)=(2t^{2})^{2}$

Αλλά

(k(k+1),(2k(k+1)+1))=1

οπότε τα

είναι τέλεια τετράγωνα .

Αλλά το k(k+1)

δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.ΑΤΟΠΟ.

Αρα δεν υπάρχει λύση.