Άθροισμα πρώτων

Tolaso J Kos · #1

Μου στάλθηκε το παρακάτω και ... δεν έχω λύση.

Το άθροισμα των πρώτων κάτω από το

είναι

. Υπολογίσατε το άθροισμα όλων των πρώτων κάτω από το 2.000.000

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Μου στάλθηκε το παρακάτω και ... δεν έχω λύση.

Το άθροισμα των πρώτων κάτω από το είναι . Υπολογίσατε το άθροισμα όλων των πρώτων κάτω από το .

Νομίζω ότι μόνο ένας υπολογιστής μπορεί να το βρει.

#3

Ο wolframalpha λέει ότι είναι 142913828922

.

Ας δούμε κάτι πιο ενδιαφέρον για αυτόν τον φάκελο:

Ας γράψουμε S(n)

για το άθροισμα όλων των πρώτων οι οποίοι είναι μικρότεροι ή ίσοι του

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ S(n) \sim \frac{n^2}{2\log{n}}}$

Επιτρέπεται η χρήση του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.

dement · #4

Έστω $\pi(n)$ ο αριθμός των πρώτων αριθμών το πολύ ίσων με

. Τότε ισχύει $\displaystyle S(n) = n \pi (n) - \sum_{k=1}^{n-1} \pi (k)$ (π.χ. με άθροιση κατά μέρη).

Ισχύει $\displaystyle \pi(n) \sim \frac{n}{\ln n}$ και (από ΘΠΑ και λόγω του ότι όλες οι συναρτήσεις και ακολουθίες τείνουν μονότονα στο $+ \infty$ )

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \pi (k) \sim \sum_{k=2}^{n-1} \frac{k}{\ln k} \sim \int_2^{n} \frac{t}{\ln t} \mathrm{d} t = \frac{n^2}{2 \ln n} - \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{2} \int_2^n \frac{t}{\ln^2 t} \mathrm{d}t \sim \frac{n^2}{2 \ln n}$

Έτσι, $\displaystyle S(n) \sim \frac{n^2}{2 \ln n}$

Άθροισμα πρώτων

Άθροισμα πρώτων

Re: Άθροισμα πρώτων

Re: Άθροισμα πρώτων

Re: Άθροισμα πρώτων

Μέλη σε σύνδεση