Διοφαντική

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Διοφαντική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. »

Να υπολογίσετε τους φυσικούς a, b, n που ικανοποιούν την σχέση:
a^{n}-b^{n}=3^{n}.

Juniors Άλγεβρα-Θεωρία Αριθμών έως 5/12
Bye :')
Ετικέτες:
Φυσικοί-Αριθμοί
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διοφαντική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος »

Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Houston, we have a problem!
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. »

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Σωστά. Όταν έφτιαχνα την άσκηση δεν είχα υπόψη το Τ.Θ.Φ :wallbash:
Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διοφαντική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος »

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Σωστά. Όταν έφτιαχνα την άσκηση δεν είχα υπόψη το Τ.Θ.Φ :wallbash:
Παρόλα αυτά έχει ενδιαφέρον να δούμε πώς θα λυνόταν χωρίς το Τ.Θ.Φ.
Houston, we have a problem!
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. »

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Σωστά. Όταν έφτιαχνα την άσκηση δεν είχα υπόψη το Τ.Θ.Φ :wallbash:
Παρόλα αυτά έχει ενδιαφέρον να δούμε πώς θα λυνόταν χωρίς το Τ.Θ.Φ.
Θα παραθέσω την λύση αν προλάβω αύριο. Είναι λίγο μπελάς...
Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. »

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Αν δεν κάνω λάθος για n>2 η εξίσωση είναι αδύνατη εξαιτίας του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά! :lol:

Για n=0 δεν έχουμε λύσεις στους φυσικούς.

Τώρα η περίπτωση n=2 δίνει a^2-b^2=9, όπου εύκολα προκύπτει ότι (a, b)=(5, 4) (καθώς μετά από αυτά τα a και b οι διαφορές τετραγώνων μεγαλώνουν και a^2-b^2>9).

Τέλος η τετριμμένη περίπτωση για n=1 δίνει a-b=3, συνεπώς (a, b)=(k, k-3), όπου k φυσικός και k\geq 3.
Σωστά. Όταν έφτιαχνα την άσκηση δεν είχα υπόψη το Τ.Θ.Φ :wallbash:
Παρόλα αυτά έχει ενδιαφέρον να δούμε πώς θα λυνόταν χωρίς το Τ.Θ.Φ.
Θα παραθέσω την λύση αν προλάβω αύριο. Είναι λίγο μπελάς...
Να απολογηθώ γιατί δεν είχα διερευνήσει κατάλληλα την πιθνή λύση της άσκησης οταν την τοποθέτησα στο forum (πιο συγκεκριμένα ο λύτης έπρεπε να διακρίνει περιπτώσεις για ζυγό n και περιττό n, η πρώτη είναι εύκολη, στην δεύτερη όμως παραγοντοποιώντας μπορούμε να αποδείξουμε ότι a-b>1, αλλά έπειτα με τον όρο (a^{n-1}+a^{n-2}b...+b^{n-1}), προκύπτει σχετικό μπέρδεμα (και μάλλον απαιτεί γνώσεις που δεν διαθέτω). Απλά να πω πως λύση της άσκησης αποτελεί και η τριάδα (a,b,n)=(3,0,f) με f φυσικό. (Το Τ.Θ.Φ είναι μόνο για τους θετικούς ακεραίους νομίζω ).
Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διοφαντική

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος »

JimNt. έγραψε:...λύση της άσκησης αποτελεί και η τριάδα (a,b,n)=(3,0,f) με f φυσικό.
Έχεις δίκιο.
Houston, we have a problem!
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης