Σύνθεση και αντίστροφη

Γιώργος Απόκης · #1

Αν $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{8-x^3}}$ , να ορίσετε την $\displaystyle{{f\circ f}$ και την $\displaystyle{f^{-1}}$ .

Γ Λυκείου - Μέχρι 4/9/2017

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Γιώργο.

Για να ορίζεται η συνάρτηση θα πρέπει $8-x^3 \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 2$ οπότε $D_f=(-\infty,2]$ .

Για να ορίζεται η $f \circ f$ πρέπει $x \in D_f$ και $f(x) \in D_f$ , άρα $\displaystyle D_{f \circ f}=[0,2]$ .

Για τον τύπο της $(f \circ f)(x)$ έχουμε $(f \circ f)(x)=f(f(x))= \ldots=x \Rightarrow \boxed{(f \circ f)(x)=x , \,\, x \in [0,2]}$ .

Για να βρούμε αν έχει αντίστροφη η συνάρτηση, πρέπει να αποδείξουμε ότι είναι 1-1.

Έστω $x_1,x_2 \in D_f$ με f(x_1)=f(x_2)

. Θα αποδείξουμε ότι x_1=x_2

.

Είναι $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow \sqrt[3]{8-{x_1}^3}=\sqrt[3]{8-{x_2}^3} \Rightarrow$

$8-{x_1}^3=8-{x_2}^3 \Rightarrow {x_1}^3={x_2}^3 \Rightarrow x_1=x_2$ , οπότε πράγματι η f(x)

είναι 1-1, άρα ορίζεται η αντίστροφή της.

Έστω f(x)=y

. Τότε:

$y=\sqrt[3]{8-x^3}$ , με $y \geqslant 0$ .

$\Rightarrow y^3=8-x^3 \Rightarrow x^3=8-y^3$ , άρα

$\displaystyle x=\begin{cases} \sqrt[3]{8-y^3} \,\, \textnormal{\gr με } \,\, 0 \leqslant y \leqslant 2 \\ -\sqrt[3]{y^3-8} \,\, \textnormal{\gr με} \,\, y \geqslant 2 \end{cases}$ .

Άρα η αντίστροφη της συνάρτησης $f(x)=\sqrt[3]{8-x^3}$ είναι η συνάρτηση:

$\displaystyle f^{-1}(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{8-x^3} \,\, \textnormal{\gr με} \,\, 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ -\sqrt[3]{x^3-8} \,\, \textnormal{\gr με} \,\, x \geqslant 2 \end{cases}$ .

Γιώργος Απόκης · #3

Σύνθεση και αντίστροφη

Σύνθεση και αντίστροφη

Re: Σύνθεση και αντίστροφη

Re: Σύνθεση και αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση