Διάταξη ολοκληρωμάτων

Grosrouvre · #1

Για τη συνεχή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \left( 0, + \infty \rght)$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx < \int_1^2 f(x)dx.$

Να δοθεί γεωμετρική - γραφική ερμηνεία.

Γ' Λυκείου έως 24/03

Grosrouvre · #2

Επαναφορά

#3

Για να δώσουμε άλλη μία ευκαιρία (και παράταση) στους μαθητές μας, ας γράψω μία υπόδειξη:

Το δεύτερο ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(y+1)dy$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Να σημειώσω ότι ισχύει (με την ίδια απόδειξη) όταν
$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής γνησίως αύξουσα.

KARKAR · #5

: Εμβαδά.png (5.13 KiB) Προβλήθηκε 1823 φορές

Θεωρώ ότι στην περίπτωση αυτή , το σχήμα είναι από μόνο του πλήρης απόδειξη .

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:Για να δώσουμε άλλη μία ευκαιρία (και παράταση) στους μαθητές μας, ας γράψω μία υπόδειξη:

Το δεύτερο ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(y+1)dy$

Για να κλείνει:

Από την υπόθεση έπεται f(x+1)-f(x) >0

για κάθε $x\in [0\,, 1]$ . Ολοκληρώνοντας από

έως

και με χρήση του παραπάνω για το πρώτο ολοκλήρωμα (που βγαίνει με αλλαγή μεταβλητής t=x+1

), έπεται αμέσως το ζητούμενο.

(Υπόψη ότι χρησιμοποιήθηκε η ασθενέστερη υπόθεση που αναφέρει ο Σταύρος).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Αλλιώς.

$x\in (0,1)\Rightarrow f(x)< f(1)$

Αρα $\int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)$

$x\in (1,2)\Rightarrow f(1)< f(x)$

Αρα Αρα $\int_{1}^{2}f(x)dx> f(1)$

Τελικά $\int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)< \int_{1}^{2}f(x)dx$

Christos.N · #8

από εκεί που το άφησε ο Σταύρος (σε χαιρετώ) η γεωμετρική ερμηνεία.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Αλλιώς.

$x\in (0,1)\Rightarrow f(x)< f(1)$

Αρα $\int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)$

$x\in (1,2)\Rightarrow f(1)< f(x)$

Αρα Αρα $\int_{1}^{2}f(x)dx> f(1)$

Τελικά $\int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)< \int_{1}^{2}f(x)dx$

Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\int\limits_\alpha ^\beta c \,dx }$ εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου και είναι ίσο με $c\left( {\beta - \alpha } \right)$ .

Αφού η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι μη αρνητική τόσο το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx}$ όσο και το $\displaystyle{\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,dx}$ εκφράζουν τα εμβαδά των αντίστοιχων χωρίων των διαστημάτων [0,1]

και

.

Δείξαμε όμως ότι $\int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)< \int_{1}^{2}f(x)dx$ που ισοδυναμεί με $\int_{0}^{1}f(x)dx< f(1)(1-0)=f(1)(2-1)< \int_{1}^{2}f(x)dx$

Το τελευταίο σημαίνει ότι το εμβαδόν της συνάρτησης στο διάστημα [0,1]

είναι μικρότερο από το εμβαδόν του ορθογωνίου που ορίζεται σε αυτό, που είναι ίσο με αυτό του διαστήματος [1,2]

και το εμβαδόν της συνάρτησης σε αυτό είναι μεγαλύτερο αντίστοιχα.

Διάταξη ολοκληρωμάτων

Διάταξη ολοκληρωμάτων

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

Re: Διάταξη ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση