Άθροισμα αποστάσεων

#1

Έστω

οι διχοτόμοι τριγώνου ABC

και

το μέσο του DE.

Αν

οι προβολές του

στις

αντίστοιχα, να δείξετε ότι MA'=MB'+MC'.

Γεωμετρία Α....................μέχρι 22/2/2018

Ορέστης Λιγνός · #2

Φέρουμε $EP \perp AB, DQ \perp AC, DK \perp BC, EL \perp BC$ .

Στο $\vartriangle DPE$ , $MC' \parallel EP$ , με

μέσο

. Άρα,

(1).

Όμοια, DQ=2B'M

(2).

Επίσης, DKLE

τραπέζιο, με

μέσο

και $MA' \parallel DK \parallel EL$ οπότε MA'

είναι διάμεσος του τραπεζίου, και DK+EL=2MA'

(3).

Ακόμα, η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat{C}$ , και το

είναι σημείο της, που ισαπέχει από τις CB,CA

.

Επομένως DK=DQ

(4), και όμοια EP=EL

(5).

Από (1),(2),(3),(4),(5) είναι $2MA'=DK+EL=DQ+EP=2B'M+2C'M \Rightarrow MA'=B'M+C'M$ , ό.έ.δ.