Τρίγωνο προς ορθογώνιο

#1

: Τρίγωνο VS ορθοιγώνιο.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

είναι τα μέσα των πλευρών BC, CD, DA

αντίστοιχα, ορθογωνίου ABCD

και

είναι

σημείο του τμήματος

ώστε

Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(PAK)}}{{(ABCD)}}.$

Για 24 ώρες.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: Δευ Μάιος 27, 2019 12:56 pm Τρίγωνο VS ορθοιγώνιο.png
είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, ορθογωνίου και είναι

σημείο του τμήματος ώστε Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(PAK)}}{{(ABCD)}}.$

Για 24 ώρες.

Χριστός Ανέστη

Έστω x=NP

,

Με πυθαγόρειο στο NDM

είναι $x^2=\dfrac{a^2+b^2}{64}$

Είναι:

$\left ( NDM \right )=\left (MCK\right )=\dfrac{ab}{8}$

$\left ( NPA \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \sin\widehat{ANP}\cdot x\cdot \dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{4}\cdot x\cdot \dfrac{b}{8x}=\dfrac{ab}{32}$

$\left ( MRK \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \sin\widehat{RPK}\cdot 3x\cdot 4x=6\cdot \dfrac{a^2+b^2}{64}\cdot \sin\left ( 2\widehat{NMD} \right )=6\cdot \dfrac{a^2+b^2}{64}\cdot 2\cdot \dfrac{\dfrac{a}{2}}{4x}\cdot \dfrac{\dfrac{b}{2}}{4x}=..=\dfrac{3}{16}ab$

$\left ( ABK \right )=\dfrac{ab}{4}$

Από τα παραπάνω:

$\left ( PAK \right )=\left ( ABCD \right )-2\left ( DNM \right )-\left ( PMK \right )-\left ( ABK \right )-\left ( NPA \right )=ab-\dfrac{ab}{4}-\dfrac{3}{16}ab-\dfrac{ab}{4}-\dfrac{ab}{32}=...\dfrac{9}{32}ab$

Άρα $\boxed{\dfrac{\left (PAK \right )}{\left (ABCD \right )}=\dfrac{9}{32}}$

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε: Δευ Μάιος 27, 2019 12:56 pm
είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα, ορθογωνίου και είναι

σημείο του τμήματος ώστε Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(PAK)}}{{(ABCD)}}.$

Για 24 ώρες.

Ωραία άσκηση Γιώργο!

: shape.png (20.1 KiB) Προβλήθηκε 1222 φορές

Το αρχικό ορθογώνιο ABCD

μετασχηματίζεται στο ισεμβαδικό παραλληλόγραμμο EKLN

και στο ισεμβαδικό τραπέζιο PLKS

, οπότε:

$2(PAK) = \dfrac{{9xy}}{2} \Leftrightarrow (PAK) = \dfrac{{9xy}}{4}\,\,(1)$ και $(ABCD) = \dfrac{{16xy}}{2}\, = 8xy\,(2)$

Από $(1):(2) \Rightarrow \dfrac{{(PAK)}}{{(ABCD)}} = \dfrac{9}{{32}}$

Altrian · #4

Καλησπέρα σε όλους.

Φέρνω από το $P\left | \right |NC\left | \right |AK$ .

$\bigtriangleup SNP\approx \bigtriangleup MPF\Rightarrow MF=3SN=3a$

$(ASN)=(KFC)=\dfrac{1}{4}(KCM)=\dfrac{1}{32}(ABCD)$

$(APK)=(ASK)=(ANK)+(ASN)=\dfrac{(ABCD)}{4}+\dfrac{(ABCD)}{32}=\dfrac{9}{32}(ABCD)$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Χαιρετώ τους φίλους! Μια ακόμη , κατά το δυνατόν ..εικονική λύση:

: Τρίγωνο προς ορθογώνιο.PNG (9.04 KiB) Προβλήθηκε 1139 φορές

Έστω $\left ( PAN \right )=m$ . Τότε $\left ( PDN \right )=m...\left ( PDM \right )=3m$ και $\left ( MCK \right )=\left ( DMN \right )=4m$ .

Είναι $\left ( ABCD \right )=4\left ( MCK \right )=32m$

οπότε (MNK) =8m

που χωρίζεται από την

σε λόγο 3:1 άρα (MPK)=6m

.

Ακόμη (KAB)=8m

συνεπώς $\left ( PAK \right )=32m -23m=9m$ και ο ζητούμενος λόγος είναι $\dfrac{9}{32}$ . Φιλικά Γιώργος.

#6

: Τρίγωνο πρός ορθογώνιο.png (27.26 KiB) Προβλήθηκε 1127 φορές

Έστω

το μέσο του

. Θέτω με

και (σχήμα) με ${E_1}\,,\,\,{E_2}\,,\,\,{E_3}$ τα επιμέρους τεμάχια του ζητούμενου εμβαδού.

${E_1} = \dfrac{1}{2}(PNK) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}(MNK) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4}E \Rightarrow \boxed{{E_1} = \dfrac{1}{{32}}E}$ (1)

Επειδή το τετράπλευρο ANPO

είναι τραπέζιο θα είναι

${E_3} = (NAO) \Rightarrow \boxed{{E_2} + {E_3} = (ANK) = \dfrac{1}{4}E\,}\,\,(2)$

Από τις $(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ με πρόσθεση έχω: $\boxed{(PAK) = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{{32}}} \right)E = \frac{9}{{32}}E}$ .

Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Re: Τρίγωνο προς ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση