Το λάθος

#1

Ο καθηγητής των μαθηματικών μπαίνει σε ένα τμήμα της α' λυκείου και γράφει στον πίνακα:

Αν $a\in\mathbb{R^*}$ και $\displaystyle {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = 3,$ θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = 0$

Στη συνέχεια από τη δοσμένη σχέση αναπτύσσοντας την ταυτότητα βρίσκει $\displaystyle {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 1$ (1)

Τέλος γράφει, $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = \left( {a + \frac{1}{a}} \right)\left( {{a^2} - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)\mathop = \limits^{(1)} \left( {a + \frac{1}{a}} \right)(1 - 1) = 0$

"Το καταλάβατε;" ρωτάει.
"Μάλιστα," απαντούν εν χορώ οι μαθητές και οι μαθήτριες.
"Μήπως βλέπετε κάποιο λάθος;" ρωτάει και πάλι ο καθηγητής.

Τα παιδιά κοιτούν τον πίνακα με απορία. Σε κάποια στιγμή ένας μαθητής, ο Εξυπνούλης, σηκώνει το χέρι του και λέει τη γνώμη του. "Μπράβο, Εξυπνούλη, παιδί μου!" του απαντά ο καθηγητής με θαυμασμό.

Τι είδε ο Εξυπνούλης που δεν είδαν οι συμμαθητές και οι συμμαθήτριές του;

24 ώρες για μαθητές.

Christos.N · #2

Γιώργο ρωτάς αν υπάρχει λάθος στην απόδειξη, όχι δεν υπάρχει.

Ρωτάς αν η πρόταση είναι αληθής; Ναι είναι.

Ρωτάς αν έχει αξία αυτό που αποδείξαμε; Όχι δεν έχει.

Ενώ αν ήταν...

Ο καθηγητής των μαθηματικών μπαίνει σε ένα τμήμα της α' λυκείου και γράφει στον πίνακα:

Αν $a\in\mathbb{C^*}$ και $\displaystyle {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = 3,$ θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = 0$

Στη συνέχεια από τη δοσμένη σχέση αναπτύσσοντας την ταυτότητα βρίσκει $\displaystyle {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 1$

Τέλος γράφει, $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = \left( {a + \frac{1}{a}} \right)\left( {{a^2} - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)\mathop = \limits^{(1)} \left( {a + \frac{1}{a}} \right)(1 - 1) = 0$

Τότε δεν υπάρχει λάθος στην απόδειξη, είναι η πρόταση αληθής και αυτό που αποδείξαμε έχει αξία.

Σχόλιο: Μια συγκεκριμένη συζήτηση νομίζω ότι έχει συμπαρασύρει το "πνεύμα" του

τώρα τελευταία.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 12:56 pm
Ο καθηγητής των μαθηματικών μπαίνει σε ένα τμήμα της α' λυκείου και γράφει στον πίνακα:

Αν $a\in\mathbb{R^*}$ και $\displaystyle {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = 3,$ θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = 0$

Στη συνέχεια από τη δοσμένη σχέση αναπτύσσοντας την ταυτότητα βρίσκει $\displaystyle {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 1$

Τέλος γράφει, $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = \left( {a + \frac{1}{a}} \right)\left( {{a^2} - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)\mathop = \limits^{(1)} \left( {a + \frac{1}{a}} \right)(1 - 1) = 0$

"Το καταλάβατε;" ρωτάει.
"Μάλιστα," απαντούν εν χορώ οι μαθητές και οι μαθήτριες.
"Μήπως βλέπετε κάποιο λάθος;" ρωτάει και πάλι ο καθηγητής.

Τα παιδιά κοιτούν τον πίνακα με απορία. Σε κάποια στιγμή ένας μαθητής, ο Εξυπνούλης, σηκώνει το χέρι του και λέει τη γνώμη του. "Μπράβο, Εξυπνούλη, παιδί μου!" του απαντά ο καθηγητής με θαυμασμό.

Τι είδε ο Εξυπνούλης που δεν είδαν οι συμμαθητές και οι συμμαθήτριές του;

24 ώρες για μαθητές.

Νομίζω οτι υπάρχει λάθος στη αρχική δεδομένη ισότητα ( δεν μπορεί να κάνει

) Κάνει τουλάχιστον

και προφανώς όλα όσα βρήκε ειναι λανθασμένα ( δεν υπαρχει πραγματικός αριθμός

για τον οποίο να ισχύουν )

Λευτέρης Παπανικολάου · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 12:56 pm
Ο καθηγητής των μαθηματικών μπαίνει σε ένα τμήμα της α' λυκείου και γράφει στον πίνακα:

Αν $a\in\mathbb{R^*}$ και $\displaystyle {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = 3,$ θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = 0$

Στη συνέχεια από τη δοσμένη σχέση αναπτύσσοντας την ταυτότητα βρίσκει $\displaystyle {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 1$

Τέλος γράφει, $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = \left( {a + \frac{1}{a}} \right)\left( {{a^2} - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)\mathop = \limits^{(1)} \left( {a + \frac{1}{a}} \right)(1 - 1) = 0$

"Το καταλάβατε;" ρωτάει.
"Μάλιστα," απαντούν εν χορώ οι μαθητές και οι μαθήτριες.
"Μήπως βλέπετε κάποιο λάθος;" ρωτάει και πάλι ο καθηγητής.

Τα παιδιά κοιτούν τον πίνακα με απορία. Σε κάποια στιγμή ένας μαθητής, ο Εξυπνούλης, σηκώνει το χέρι του και λέει τη γνώμη του. "Μπράβο, Εξυπνούλη, παιδί μου!" του απαντά ο καθηγητής με θαυμασμό.

Τι είδε ο Εξυπνούλης που δεν είδαν οι συμμαθητές και οι συμμαθήτριές του;

24 ώρες για μαθητές.

Η συνεπαγωγή είναι αληθής, αφού η υπόθεση είναι ψευδής. Δεν υπάρχει λάθος στη Μαθηματική Πρόταση-Συνεπαγωγή, υπάρχει ''λάθος'' στην υπόθεση με την έννοια ότι είναι ψευδής. Όπως το γράφει ο κύριος Κούτρας

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 12:56 pm
Ο καθηγητής των μαθηματικών μπαίνει σε ένα τμήμα της α' λυκείου και γράφει στον πίνακα:

Αν $a\in\mathbb{R^*}$ και $\displaystyle {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = 3,$ θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = 0$

Στη συνέχεια από τη δοσμένη σχέση αναπτύσσοντας την ταυτότητα βρίσκει $\displaystyle {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 1$

Τέλος γράφει, $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = \left( {a + \frac{1}{a}} \right)\left( {{a^2} - a \cdot \dfrac{1}{a} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)\mathop = \limits^{(1)} \left( {a + \frac{1}{a}} \right)(1 - 1) = 0$

Τα είπαν οι προλαλήσαντες αλλά ας το δούμε άλλη μία φορά, λίγο αλλιώς. Εκτός ύλης, όμως.

Σωστά, δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί την αρχική. Ένας τρόπος να το δούμε είναι με ανισότητες και χρήση της $a+ \dfrac {1}{a} \ge 2$ για θετικά, ανάλογα για αρνητικά, και λοιπά. Άλλος τρόπος είναι να λύσουμε την εξίσωση, οπότε θα βρούμε (μιγαδικές) ρίζες $\dfrac {\sqrt 3 }{2}\pm \dfrac {1 }{2}i$ . Οπότε "δεν μας εκπλήσει" αν βρούμε ότι ${a^3} + \dfrac{1}{{{a^3}}}=0$ . Μπορούμε βέβαια να το επαληθεύσουμε κάνοντας τις πράξεις. Ακόμα καλύτερα, μπορούμε να πάμε με τους πάλαι ποτέ τύπους της Τριγωνομετρικής μορφής μιγαδικών και να θυμηθούμε τον De Moivre (οι πολύύύ παλιοί ξέρουν τι εννοώ).

Eίναι $\displaystyle{a = \cos \dfrac {\pi }{6} + i\sin \dfrac {\pi }{6} }$ , οπότε

$\displaystyle{a^3 = \left ( \cos \dfrac {\pi }{6} + i\sin \dfrac {\pi }{6} \right ) ^3= \cos \dfrac {\pi }{2} + i\sin \dfrac {\pi }{2} =i}$ και

$\displaystyle{a^{-3} = \left ( \cos \dfrac {\pi }{6} + i\sin \dfrac {\pi }{6} \right ) ^{-3}= \cos \dfrac {\pi }{2} - i\sin \dfrac {\pi }{2} =-i}$ .

Kαι λοιπά.

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #6

Καλησπέρα σας. Επειδή ο κ. Βισβίκης απευθύνει (μέσω του καθηγητή της τάξης) την ερώτηση σε μαθητές Α' Λυκείου, Θεωρώ ότι η απάντηση του κ. Κούτρα είναι η ενδεδειγμένη.

Christos.N · #7

Εγώ που έτυχε να λύσω (ως μαθητής της τάξης αυτής ) στο σπίτι, την άσκηση αυτή με αυτόν τον τρόπο , πώς θα βαθμολογηθώ;
Ή μάλλον καλύτερα (επειδή δεν με ενδιαφέρει η βαθμολογία )ποιον σχολιασμό θα τύχω;

abgd · #8

Δίνοντας στους μαθητές μας ασκήσεις του τύπου: "Αποδείξτε ότι αν ισχύει το Α, τότε έχουμε το Β", δεν είναι απαραίτητο να ελέγχουμε κάθε φορά την αλήθεια του Α.
Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να ελέγξουμε την διαδικασία της απόδειξης.
Αν πούμε στους μαθητές μας ότι εδώ υπάρχει κάτι λάθος, μάλλον θα τους μπερδέψουμε!

#9

Επίσης θα ήθελα να προσθέσω και εγώ ότι καλό είναι να αποφεύγουμε να θέτουμε τέτοιου είδους

ερωτήματα στους μαθητές μας. Γιά μεταξύ μας συζητήσεις είναι χρήσιμες αφού αναδεικνύουν την

χρησιμότητα της μαθηματικής λογικής που εγώ τουλάχιστον την πρωτογνώρισα στη Δ Γυμνασίου(!!!)

Οι περισσότεροι μαθητές μας δεν γνωρίζουν καλά-καλά να χρησιμοποιήσουν τα την συνεπαγωγή και την ισοδυναμία...

γι αυτό κρίνω ότι μεγαλύτερα προβλήματα θα τους δημιουργηθούν, παρά θα τους λυθούν....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#10

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 28, 2022 7:40 pm
... εγώ τουλάχιστον την πρωτογνώρισα στη Δ Γυμνασίου(!!!)

.
Βασίλη, λίγοι μέσα στο φόρουμ θα καταλάβουν τι ακριβώς εννοείς όταν λες Δ Γυμνασίου. Οι πιο πολλοί θα νομίσουν ότι έκανες τυπογραφικό σφάλμα.

Προϋπόθεση για να σε καταλάβουν είναι η ηλικία τους να είναι είναι __ήντα και πάνω. Και εγώ βέβαια φοίτησα Δ, Ε, και ΣΤ Γυμνασίου. Άστα...

#11

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 12:56 pm
Ο καθηγητής των μαθηματικών μπαίνει σε ένα τμήμα της α' λυκείου και γράφει στον πίνακα:

Αν $a\in\mathbb{R^*}$ και $\displaystyle {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = 3,$ θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = 0$

Στη συνέχεια από τη δοσμένη σχέση αναπτύσσοντας την ταυτότητα βρίσκει $\displaystyle {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 1$

Τέλος γράφει, $\displaystyle {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = \left( {a + \frac{1}{a}} \right)\left( {{a^2} - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)\mathop = \limits^{(1)} \left( {a + \frac{1}{a}} \right)(1 - 1) = 0$

"Το καταλάβατε;" ρωτάει.
"Μάλιστα," απαντούν εν χορώ οι μαθητές και οι μαθήτριες.
"Μήπως βλέπετε κάποιο λάθος;" ρωτάει και πάλι ο καθηγητής.

Τα παιδιά κοιτούν τον πίνακα με απορία. Σε κάποια στιγμή ένας μαθητής, ο Εξυπνούλης, σηκώνει το χέρι του και λέει τη γνώμη του. "Μπράβο, Εξυπνούλη, παιδί μου!" του απαντά ο καθηγητής με θαυμασμό.

Τι είδε ο Εξυπνούλης που δεν είδαν οι συμμαθητές και οι συμμαθήτριές του;

24 ώρες για μαθητές.

Πιθανόν ο Εξυπνούλης να μην είδε το λάθος στην αρχική ισότητα (γιατί είναι και λίγο κρυμμένο) . Μπορεί να μην είδε το λάθος στην ${{a}^{2}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=1$ αλλά στην απόδειξη ότι ${{a}^{3}}+\dfrac{1}{{{a}^{3}}}=0$ πιθανόν να διερωτήθηκε για ποια τιμή του $a\in {{R}^{*}}$ ισχύει (και θα ήταν και σοφό από την μεριά του για επιβεβαίωση της απάντησης του ).

Έτσι κάνοντας απαλοιφή στην πιο πάνω σχέση (προσπαθώντας να βρει το

) θα κατέληγε ότι ${{a}^{6}}=-1$ οπότε τι σκέφτεται ένας εξυπνούλης (αλλά παιδί ! ) που γνωρίζει ότι κάθε άρτια δύναμη πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός;

Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό του είναι ότι έχει κάνει λάθος.

Αλλά ποιο είναι το λάθος;

Είναι λογικό ή είναι λογιστικό;

Επειδή όμως είναι άριστος στις πράξεις και γνωρίζει και τις ταυτότητες πολύ καλά
Το ξανακοιτάει , το ξανακοιτάει και δεν βρίσκει λάθος. Είναι όμως βέβαιος ότι το αποτέλεσμα δεν είναι σωστό .

Έχετε απάντηση για την ψυχολογική του κατάσταση ;

Έχει τα «κουράγια» να το «προσπεράσει» ή θα το σβήσει αφού δεν θα βρει ποτέ το «λάθος» ΤΟΥ;

Θα συμφωνήσω λοιπόν με το Βασίλη ότι τέτοιου είδους θέματα δεν είναι για μαθητές και θα συμφωνήσω για το «Μπράβο» που του είπε ο Καθηγητής του εννοείται για την παρατηρητικότητά του !!!

#12

Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση με το θέμα, είτε συμφωνείτε είτε διαφωνείτε με την διδακτική του. Στο
συγκεκριμένο παράδειγμα, ο μαθητής σκέφτηκε ανάποδα (όπως ο Στάθης στην δεύτερη ανάρτησή του (#11)). Αυτά
που είπε στον καθηγητή του είναι τα εξής:

"Αυτό που αποδείξατε είναι λάθος γιατί οι αριθμοί $\displaystyle {a^3},\frac{1}{{{a^3}}}$ είναι ομόσημοι, οπότε δεν μπορεί να έχουν άθροισμα

Ωστόσο, δεν υπάρχει λάθος στην απόδειξη. Συμπέρανα λοιπόν ότι υπάρχει λάθος στην υπόθεση. Πράγματι, έχουμε

μάθει ότι $\displaystyle a + \frac{1}{a} \ge 2$ ή $\displaystyle a + \frac{1}{a} \le -2,$ άρα δεν μπορεί να είναι $\displaystyle {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} =3.$ "

Christos.N · #13

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 29, 2022 9:18 am

"Αυτό που αποδείξατε είναι λάθος ....

Γιώργο καλημέρα , εγώ έχω μια ένσταση σε αυτό ακριβώς που δημιουργείται από την εξής απορία .

Στο παράδειγμα αυτό έχουμε $0\rightarrow 1$ ή $0\rightarrow 0$ ;

#14

Η άσκηση θα ήταν χρήσιμη, αν οι μαθητές είχαν διδαχθεί (όπως παλαιότερα) την μαθηματική λογική και γνώριζαν ότι είναι αληθής ο προτασιακός τύπος:
"Ψευδές Συνεπάγεται Αληθές".
Χωρίς αυτή την γνώση, σίγουρα (όπως γράφει και ο Στάθης) , η ψυχολογία τους σε περίπτωση διαγωνίσματος θα ήταν τραγική ,
αν το έψαχναν λίγο παραπάνω και έβλεπαν ότι δεν υπάρχει αριθμός (από αυτούς που γνωρίζουν στην Α Λυκείου), που να ικανοποιεί την άσκηση.

#15

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 29, 2022 10:39 am

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 29, 2022 9:18 am

"Αυτό που αποδείξατε είναι λάθος ....
Γιώργο καλημέρα , εγώ έχω μια ένσταση σε αυτό ακριβώς που δημιουργείται από την εξής απορία .

Στο παράδειγμα αυτό έχουμε $0\rightarrow 1$ ή $0\rightarrow 0$ ;

Καλημέρα Χρήστο,

Μιλάμε για α' λυκείου σε σημερινό σχολείο. Οι μαθητές δεν γνωρίζουν μαθηματική λογική και δεν πρόκειται να εμπλακούν
σ' αυτή τη διαδικασία. Ζητείται αν υπάρχει λάθος σε αυτά που είναι γραμμένα στον πίνακα. Δεν διευκρινίζεται αν το λάθος
είναι α) στην υπόθεση, β) στην πορεία της απόδειξης ή γ) στην αποδεικτέα σχέση. Ένας παρατηρητικός και διαβασμένος
μαθητής θα προσέξει ότι δεν μπορεί να ισχύει η αποδεικτέα σχέση και να σταματήσει εδώ, ή θα παρατηρήσει ότι η υπόθεση
είναι λάθος ή και τα δύο. Αυτό που ήθελα να επισημάνω είναι ότι πρέπει πάντοτε να ελέγχουμε τα δεδομένα. Έχω δει
αρκετές φορές να δίνονται (στη γ' λυκείου) συναρτήσεις που ικανοποιούν κάποιες συνθήκες και αν τις ελέγξουμε προσεκτικά
θα διαπιστώσουμε ότι τέτοιες συναρτήσεις δεν υπάρχουν. Σε όλους μας έχει συμβεί νομίζω.

Γι' αυτή την άσκηση η αφορμή ήταν ένα πραγματικό γεγονός. Συνέβη πριν αρκετά χρόνια όταν οι πρόοδοι ήταν στην ύλη
της β' λυκείου. Η άσκηση δόθηκε σε μαθητή μου σε πραγματικό σχολείο και ήταν η εξής:

Αν $\displaystyle {\alpha ^3} + {\beta ^3} = {\gamma ^3}$ και $\displaystyle {\alpha ^2} + \alpha \beta + {\beta ^2} = 0,$ να δείξετε ότι οι $\displaystyle \alpha ,\gamma ,\beta \sqrt[3]{4}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Το λάθος

Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Re: Το λάθος

Μέλη σε σύνδεση