Πω πω πόσα σημεία

[Mihalis_Lambrou]

Σημεία.png (4.44 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

.
Σε μία ευθεία είναι σημειωμένα διάφορα σημεία. Ο Δάσκαλος τοποθέτησε άλλο ένα σημείο ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο διαδοχικά από αυτά τα σημεία. Με όλα τα σημεία, παλιά και νέα, επανέλαβε αυτήν την διαδικασία άλλες δύο φορές. Στο τέλος υπήρχαν σημειωμένα σημεία. Πόσα σημεία ήταν σημειωμένα στην αρχή;

H εικόνα δείχνει ένα τμήμα της αρχικής κατάστασης.

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Δημοτικού.)

[kfd]

Αν είχε ν σημεία στην αρχή, έβαλε ν-1 και όλα μαζί έγιναν 2ν-1. Με την 2η τοποθέτηση έβαλε 2ν-2 και όλα μαζί έγιναν 4ν-3. Με την τελευταία τοποθέτηση έβαλε 4ν-4 και όλα άθροιζαν 8ν-7=633<=>ν=80.

[kfd]

Αν προσθέταμε στα 633 σημεία 1 ακόμα θα γίνονταν διπλάσια των προηγούμενων της τρίτης φάσης, άρα πριν την 3η φάση τα σημεία ήταν 634:2=317. Με όμοιο συλλογισμό τα σημεία πριν την 2η φάση ήταν 318:2=159 και πριν την 1η φάση 160:2=80.

[Nikitas K.]

Σημεία.png

.
Σε μία ευθεία είναι σημειωμένα διάφορα σημεία. Ο Δάσκαλος τοποθέτησε άλλο ένα σημείο ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο διαδοχικά από αυτά τα σημεία. Με όλα τα σημεία, παλιά και νέα, επανέλαβε αυτήν την διαδικασία άλλες δύο φορές. Στο τέλος υπήρχαν σημειωμένα σημεία. Πόσα σημεία ήταν σημειωμένα στην αρχή;

H εικόνα δείχνει ένα τμήμα της αρχικής κατάστασης.

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Δημοτικού.)

Βασική παρατήρηση
Αν έχουμε κάποια σημειωμένα σημεία πάνω στην ευθεία, τα ευθύγραμμα τμήματα ανάμεσά τους (που δεν έχουν σημειωμένο σημείο στο εσωτερικό τους) είναι ένα λιγότερα από τα σημεία:

σημεία ευθύγραμμα τμήματα

Τι κάνει ο Δάσκαλος

Σε κάθε φάση βάζει ένα νέο σημείο στο εσωτερικό κάθε ευθύγραμμου τμήματος. Άρα κάθε τμήμα χωρίζεται σε , και ο αριθμός των ευθύγραμμων τμημάτων διπλασιάζεται.

Ξεκινάμε ανάποδα, με ένα παράδειγμα

Έστω ότι ξεκινάμε με σημεία, δηλαδή ευθύγραμμο τμήμα.

• Μετά την η φάση: ευθύγραμμα τμήματα.
• Μετά τη η φάση: ευθύγραμμα τμήματα.
• Μετά την η φάση: ευθύγραμμα τμήματα.

Άρα στο τέλος έχουμε σημεία.

Λήψη ggb

Η εύκολη εκδοχή του προβλήματος

Αν στο τέλος υπήρχαν σημεία, με πόσα ξεκινήσαμε;

Τα σημεία ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα. Κάνουμε την αντίστροφη διαδικασία: αφού σε κάθε φάση τα τμήματα διπλασιάζονται, γυρνώντας πίσω τα υποδιπλασιάζουμε.

• Πριν την η φάση: ευθύγραμμα τμήματα.

• Πριν τη η φάση: ευθύγραμμα τμήματα.

• Πριν την η φάση: ευθύγραμμο τμήμα.

Το ευθύγραμμο τμήμα έχει σημεία, άρα ξεκινήσαμε με σημεία.

Όλη η διαδικασία συνοψίζεται στην έκφραση:



Το πρόβλημα

Στο τέλος υπήρχαν σημεία, δηλαδή ευθύγραμμα τμήματα. Επειδή τα τμήματα διπλασιάστηκαν φορές, αρχικά ήταν . Τα ευθύγραμμα τμήματα έχουν σημεία.

Συνοπτικά:



Αρχικά ήταν σημειωμένα σημεία.