Όριο γινομένου (16)

#1

Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)^{\sin\frac{n}{n^2+k^2}}}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας υπολογισθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)^{\sin\frac{n}{n^2+k^2}}}$ .

Λογαριθμίζοντας αναγώμαστε στο όριο του

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \sin\frac{n}{n^2+k^2}} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{1/n}{1+(k/n)^2}} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)=$

$\displaystyle{= \sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{1/n}{1+(k/n)^2} + n \cdot O\left(\frac {1}{n^3}}\right)\right) \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$ .

Τώρα, οι αριστεροί προσθετέοι είναι άθροισμα Riemann, και τείνουν στο $\displaystyle \int _0^1 \frac {1}{1+x^2} \ln (1+x)\,dx$ (*) ενώ οι δεξιοί είναι τάξης $\frac {1}{n^2} \ln n \approx 0$ , και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Αναστάση, δεν ξέρω να υπολογίσω το ολοκλήρωμα, αλλά μήπως σου κάνει έτσι η απάντηση; Αν όχι, βλέπουμε ... Πρώτα όμως επίσκεψη σε μία Άννα που γιορτάζει.

#3

Μια χαρά κάνει. Το ολοκλήρωμα το έχουμε ξανασυζητήσει. Έχω δώσει τα λινκς εδώ.

Η πηγή της άσκησης : Cezar Lupu, Tudorel Lupu, Shortlist ONM 2009.

Όριο γινομένου (16)

Όριο γινομένου (16)

Re: Όριο γινομένου (16)

Re: Όριο γινομένου (16)

Μέλη σε σύνδεση