Υπολογισμός αθροίσματος (11)

#1

Ας υπολογιστεί το $\displaystyle{\sum_{m=1}^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+m}}{[\sqrt{n+m}]^3}}$ , όπου $[\cdot]$ το ακέραιο μέρος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Ωραίο θέμα Αναστάση.

$\displaystyle{\sum\limits_{m = 1}^{ + \infty } {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + m}}}}{{{{\left\lfloor {\sqrt {n + m} } \right\rfloor }^3}}}} } = \mathop = \limits^{\left[ 1 \right]} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {n - 1} \right)}}{{{{\left\lfloor {\sqrt n } \right\rfloor }^3}}}} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\sum\limits_{n = {k^2}}^{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {n - 1} \right)}}{{{{\left\lfloor {\sqrt n } \right\rfloor }^3}}}} } = \mathop = \limits^{\left[ 2 \right]} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{k^3}}}\sum\limits_{n = {k^2}}^{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} {{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {n - 1} \right)} } = }$

$\displaystyle{ = \mathop = \limits^{\left[ 3 \right]} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}\left( {k\left( {k + 1} \right) - 1} \right)}}{{{k^3}}}} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}\left( {{k^2} + k - 1} \right)}}{{{k^3}}}} = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{k}} + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^2}}}} - \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^3}}}} = \mathop = \limits^{\left[ 4 \right]} = - \ln 2 - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{3}{4}\zeta \left( 3 \right)}$

$\displaystyle{\left[ 1 \right]}$ Για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό

, υπάρχουν (k-1)

τρόποι να γραφεί σαν άθροισμα δυο διακριτών θετικών ακεραίων π.χ. $\displaystyle{6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1}$ .

$\displaystyle{\left[ 2 \right]}$ Για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n \in \left\{ {{k^2},{k^2} + 1,..,{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right\}}$ ισχύει $\displaystyle{k \leqslant \sqrt n < k + 1 \Rightarrow \left\lfloor {\sqrt n } \right\rfloor = k}$ .

$\displaystyle{\left[ 3 \right]}$ Το άθροισμα $\displaystyle{\sum\limits_{n = {k^2}}^{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} {{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {n - 1} \right)} }$ είναι άθροισμα όρων αριθμητικής προόδου.

$\displaystyle{\left[ 4 \right]}$ Οι υπόψη σειρές είναι γνωστές, έχουν συζητηθεί και υπολογιστεί πολλές φορές.

#3

Ωραίος! Το μόνο ζόρι είναι να δικαιολογηθεί στο [1]

η άθροιση κατά τρίγωνα.

Υπολογισμός αθροίσματος (11)

Υπολογισμός αθροίσματος (11)

Re: Υπολογισμός αθροίσματος (11)

Re: Υπολογισμός αθροίσματος (11)

Μέλη σε σύνδεση