Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

rinakion · #1

Καλησπέρα σας! Θα ήθελα να μου πείτε αν υπάρχουν κάποια tips στο να υπολογίζω τα "Μακλοριανά" αναπτύγματα διότι δυσκολεύομαι να βρω κάποια στάνταρ σημάδια για το δρόμο που θα ακολουθήσω...
Πάντως, παραθέτω δυο συναρτήσεις που αν θα μπορούσατε να μου αναλύσετε εκτενώς την διαδικασία,καθώς και την σκέψη για το ποιο λόγο ακολουθήσατε αυτόν τον τρόπο επίλυσης, για να βρεθεί το ανάπτυγμα Mac Laurin θα με βοηθούσατε απίστευτα στο να κατανοήσω όλη τη διαδικασία...
1) $f(x)=\cos^2({3x+1})$
2) $f(x)=({3x^2+1})\,\sin^2{x}$

#2

rinakion έγραψε:Καλησπέρα σας! Θα ήθελα να μου πείτε αν υπάρχουν κάποια tips στο να υπολογίζω τα "Μακλοριανά" αναπτύγματα διότι δυσκολεύομαι να βρω κάποια στάνταρ σημάδια για το δρόμο που θα ακολουθήσω...
Πάντως, παραθέτω δυο συναρτήσεις που αν θα μπορούσατε να μου αναλύσετε εκτενώς την διαδικασία,καθώς και την σκέψη για το ποιο λόγο ακολουθήσατε αυτόν τον τρόπο επίλυσης, για να βρεθεί το ανάπτυγμα Mac Laurin θα με βοηθούσατε απίστευτα στο να κατανοήσω όλη τη διαδικασία...
1) $f(x)=\cos^2({3x+1})$
2) $f(x)=({3x^2+1})\,\sin^2{x}$

Θα δώσω υπόδειξη μόνο γιατί προφανώς οι παραπάνω είναι από "ασκήσεις στο σπίτι" από κάποιο μάθημα. Αν οι υποδείξεις δεν επαρκούν, μη διστάσεις να επανέλθεις για να σου πούμε το παρακάτω. Θα το κάνουμε με χαρά, αλλά ας έχεις πρώτα την ευκαιρία να δοκιμάσεις μόνος/μόνη σου.

Για την 1) γράφουμε $\cos^2 y = \frac {1}{2} (\cos 2y + 1)$ . Για το 2) η ίδια ιδέα μέσω του $\sin^2 y = \frac {1}{2} (1-\cos 2y )$ .

Καλό διάβασμα.

Μ.Λ.

rinakion · #3

Με όλο το σεβασμό, το βήμα που μου προτείνατε ήταν το μόνο που ήξερα πως ξεκινάμε... Μετά είναι το πρόβλημα διότι δεν έχω εκτενή βιβλιογραφία και "κολλάω" στην επίλυση όχι επειδή δεν μπορώ να σκεφτώ τα βήματα αλλά επειδή δεν γνωρίζω γενικά πως να διαχειρίζομαι το όποιο δεδομένο προκύπτει ώστε να έχω σαν αποτέλεσμα MacLaurin.
Συγγνώμη για την αναστάτωση..

#4

Ας προσθέσω και δεύτερη υπόδειξη, για το επόμενο βήμα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Edit αργότερα: Έκανα μικρή τυπογραφική διόρθωση. Στο αρχικό είχα τα $\cos 2, \, \sin 2$ ανάποδα.

rinakion · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ας προσθέσω και δεύτερη υπόδειξη, για το επόμενο βήμα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Το $\cos (6x+2)$ που εμφανίζεται το γράφεις $\cos 6x \sin 2 - \cos 2 \sin 6x$ . Για τα $\cos 6x, \sin 6x$ έχεις έτοιμη σειρά Maclaurin. Οι άλλοι δύο παράγοντες είναι σταθερές.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tr ... identities

Το internet είναι φίλος μας

rinakion · #7

Καλά,τελοσπάντων... Θα ψάξω αλλού για βοήθεια. Ευχαριστώ

#8

rinakion έγραψε:Καλά,τελοσπάντων... Θα ψάξω αλλού για βοήθεια. Ευχαριστώ

Αγαπητέ μου φίλε. Αν είχες την υπομονή να αφιερώσεις 2 το πολύ λεπτά για να κοιτάξεις τη σελίδα που έδωσα, θα διαπίστωνες ότι η απάντηση στην ερώτηση που έκανες στο Μιχάλη για το $\cos(a+b)$ βρίσκεται στον πίνακα με τίτλο Angle sum and difference identities...

rinakion · #9

Καλησπέρα και πάλι. Πιστεύω ότι βρήκα το ανάπτυγμα MacLaurin της $\cos({6x+2})$ .
Το έκανα με τον εξής τρόπο: Μιας και γνώριζα την MacLaurin της $\cos x$ , έθεσα όπου

το

και μου προέκυψε το εξής:
$\cos({6x+2})=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n\,({6x+2})^{2n}}{(2n)!}}$

Μετά μιας και γνωρίζουμε ότι:

$f(x)=\dfrac{1+\cos({6x+2})}{2}$

Αντικατέστησα τον ν-ιοστό όρο της σειράς της $\cos({6x+2})$ στην παραπάνω σχέση και θεώρησα ότι το ανάπτυγμα MacLaurin είναι αυτό:
$f(x)=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1+(-1)^n\,({6x+2})^{2n}}{2\,(2n)!}}$

Τώρα δεν ξέρω αν αυτό είναι σωστό ή λάθος.... Δεν έχω καταλάβει πότε ξέρουμε αν αυτό που διαμορφώσαμε είναι MacLaurin ή όχι...

#10

rinakion έγραψε:<...>

Αντικατέστησα τον ν-ιοστό όρο της σειράς της $\cos({6x+2})$ στην παραπάνω σχέση και θεώρησα ότι το ανάπτυγμα MacLaurin είναι αυτό:
$f(x)=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1+(-1)^n\,({6x+2})^{2n}}{2\,(2n)!}}$

Τώρα δεν ξέρω αν αυτό είναι σωστό ή λάθος.... Δεν έχω καταλάβει πότε ξέρουμε αν αυτό που διαμορφώσαμε είναι MacLaurin ή όχι...

Δεν είναι σωστό. Η σειρά Maclaurin είναι ως προς δυνάμεις του

, όχι του

. Ξαναδές την υπόδειξη που σου έδωσα, δηλαδή μέσω της $\cos (6x+2) = \cos (6x) \cos 2 - \sin (6x) \sin 2$
(από βιασύνη πριν είχα γράψει τα $\cos 2 ,\, \sin 2$ ανάποδα, αλλά αυτό δεν αλλάζει την ιδέα για το πώς προχωράς).

Μ.

Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Re: Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Mac Laurin

Μέλη σε σύνδεση